問題1,在面積為定值的扇形中,半徑是多少時扇形周長最小?
若面積恒定為S,S=θR^2
扇形周長為：L=2R+θR=2R+S/R
L'=2-S/R^2
令L'=0
2-S/R^2=0
解得：R=√(S/2)
當R0,函數(shù)單增
所以,當半徑為√(S/2)時扇形周長最小.
問題2,在周長為定值的扇形中,半徑是多少時扇形面積最大?
若周長恒定為L,L=2R+θR
扇形面積為：S=θR^2
∵L=2R+θR
∴θ=(L-2R)/R
∴S=θR^2
=(L-2R)R^2/R
=(L-2R)R [開口向下的拋物線]
S'=L-4R
令S'=0
L-4R=0
R=L/4
亦即,當半徑為L/4時扇形的面積最大.