A、燈L₁的接線短路，同時電壓表也會被短路沒有示數(shù)，但電路仍然是通路，因此電流表有示數(shù)，符合題意，故該選項正確；
B、燈L₂的接線短路，電路中其余部分仍然是通路，電流表有示數(shù)，電壓表也有示數(shù)，測量的是燈L₁的電壓，也是電源電壓，不符合題意，故該選項不正確；
C、燈L₁的燈絲斷了，電路處于斷路，電流表沒有示數(shù)，電壓表通過電流表和燈L₂可以連接到電源上，此時燈L₂相當于導(dǎo)線的作用，電壓表有示數(shù)，不符合題意，故該選項不正確；
D、燈L₂的燈絲斷了，整個電路斷路，電流表和電壓表都會沒有示數(shù)，不符合題意，故該選項不正確．
故選A．