如上圖所示：
OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥BC,OE=OF=OD=r
S三角形ABC=S三角形AOB+S三角形BOC+S三角形AOC
                   =1/2AB*OE+1/2AC*OD+1/2BC*OF

                   =1/2(AB+AC+BC)r

根據(jù)三元均值不等式性質(zhì)a≥0,b≥0,c≥0, (a+b+c)/3≥abc開三次方（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)）
可知三角形ABC面積最小的時(shí)候就AB+AC+BC取最小值,即當(dāng)AB=AC=BC時(shí),面積最小.
所以對(duì)一個(gè)圓做外切三角形,正三角形的面積為最小