先根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)來表示f(h),f(2h),f(3h)
在(0,h）上,根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,有 [f(h)-f(0)]/(h-0)=f'(0) 即 f(h) = f(0)+hf'(0)
在(h,2h)上 有[f(2h)-f(h)]/(2h-h)=f'(h) 可得f(2h) = f(h)+ hf'(h) = f(0) + hf'(0) + hf'(h)
在(2h,3h)上 可得f(3h) = f(2h) +hf'(2h) = f(0) + hf'(0) + hf'(h) + hf'(2h)
代入原式會(huì)發(fā)現(xiàn)除了常數(shù)f(0),f'(0)還有與h相關(guān)的變量f'(h)和f'(2h)
再通過二階導(dǎo)數(shù)來表示f'(h)和f'(2h)
在(0,h）上 有 f'(h) = f'(0) + hf''(0)
在(h,2h)上 有 f'(2h) = f'(h) + hf''(h) = f'(0) + hf''(0) +hf''(h)
通過三階導(dǎo)數(shù)來表示f''(h)
f''(h) = f''(0) + hf'''(0)
這樣代入原式,整理后得到
(a+b+c-1)×f(0) + (a+2b+3c)×f'(0)×h + (b+3c)×f''(0)×h^2 + c×f''(0)×h^3
為了保證這個(gè)式子是比h^2高階的小量,常數(shù)項(xiàng),一次項(xiàng),二次項(xiàng)系數(shù)均為0
a+b+c-1 = 0
a+2b+3c = 0
b+3c = 0
解得 a=3 b=-3 c=1