關(guān)于兩個(gè)數(shù)大小的比較和兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的比較,在有限的情況下是非常簡(jiǎn)單的,但是考慮無窮大的情況就比較復(fù)雜了.我簡(jiǎn)單說一下思路：
無窮大可以分為可數(shù)無窮和不可數(shù)無窮.（具體的數(shù)學(xué)定義可以在百度的百科里查,我已經(jīng)給出定義了,也可以直接進(jìn)入我的貢獻(xiàn)里）
簡(jiǎn)單地說可數(shù)就是可以按照順序排列,如自然數(shù)集,就可以按照1,2,3……這樣排序下去（排法不唯一）,如有理數(shù)就可以按照1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,……（其中如1/1,2/2等是相同的數(shù),在排序完后可以刪除,這不影響結(jié)果）.
另外有一類集合如實(shí)數(shù)集,它的元素不能按照一個(gè)順序進(jìn)行排列.這是可以證明的,我們不妨取0到1之間的實(shí)數(shù)為例,假設(shè)已經(jīng)排成一序列,那么我們?nèi)〉?個(gè)數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第1位,第2個(gè)數(shù)小數(shù)點(diǎn)第2位,……第n個(gè)數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第n為,……把這些數(shù)分別作為新的一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第1、1、……n、……位,這樣得到的數(shù)不同于序列中的任何一個(gè)數(shù),所以就證明了實(shí)數(shù)是不可以排序的.（在證明時(shí)我們忽略了新得到的數(shù)是0.9999999999……這樣的可能,這只要不用十進(jìn)制表示就可以避免了,不影響結(jié)論）.像實(shí)數(shù)這樣不能被排序的集合就稱為不可數(shù)集合.
比較兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的方法是進(jìn)行一一比較,打個(gè)比方：兩個(gè)小孩在比較誰的糖多,在不數(shù)數(shù)的情況下,通常是你一顆、我一顆,你一顆、我一顆……當(dāng)最后大家都沒有了,那就是一樣多,如果一個(gè)人還有,另一個(gè)拿不出來了,那就還有的人就比較多.數(shù)學(xué)上比較兩個(gè)集合的個(gè)數(shù)的多少也是這樣的,不過數(shù)學(xué)上有個(gè)概念叫做一一映射（可以看我的“我的貢獻(xiàn)”,我已經(jīng)把他放到百科里了）.如果兩個(gè)集合可以建立一個(gè)一一映射,或者說存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,則這兩個(gè)集合的元素是一樣多的,否則是不一樣多的.這時(shí)如果能夠找到一個(gè)從A集合到B集合的單射,那么B的個(gè)數(shù)就比A多了,反之亦然.
這樣就可以得到一個(gè)非常有趣的結(jié)果了.只要建立對(duì)應(yīng)關(guān)系y=2x,（這里y表示偶數(shù)集中的元素,x表示自然數(shù)集中的元素）,顯然這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng),偶數(shù)集的元素個(gè)數(shù)和自然數(shù)集的個(gè)數(shù)是相等的.同樣的我們可以構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系得到自然數(shù)和有理數(shù)個(gè)數(shù)是相等的.也就是說在無窮多的情況下,一個(gè)無窮集合可以和它的真子集個(gè)數(shù)相等.這是集合論的一個(gè)結(jié)論,也是無窮集的性質(zhì)之一.
關(guān)于數(shù)的比較和集合的比較是一樣的.每個(gè)集合對(duì)應(yīng)的有一個(gè)勢(shì),也就是集合個(gè)數(shù),也稱為基數(shù).在有限集每個(gè)集合的元素還對(duì)應(yīng)了一個(gè)序數(shù),最大的序數(shù)就是基數(shù).
所以對(duì)于無窮數(shù)的比較可以轉(zhuǎn)化為比較具有該數(shù)為基數(shù)的集合.對(duì)應(yīng)的無窮集合可以和其子集個(gè)數(shù)相等,所以在無窮的情況下一個(gè)數(shù)的二分之一也可以和其本身相等.
寫了這么多摟主應(yīng)該知道方法了吧.我就此打住,后面就涉及到連續(xù)統(tǒng)問題了,這是目前集合論中尚未解決的問題.