【證法1】（梅文鼎證明）
做四個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ,斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形,使D、E、F在一條直線上. 過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.
∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.
同理,HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.
設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,則
,
∴ .
【證法2】（項(xiàng)明達(dá)證明）
做兩個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ,斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形,使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.
過(guò)點(diǎn)Q作QP‖BC,交AC于點(diǎn)P.
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PQ,垂足為M；再過(guò)點(diǎn)
F作FN⊥PQ,垂足為N.
∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM是一個(gè)矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
【證法3】（趙浩杰證明）
做兩個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ,斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF,AE為邊長(zhǎng)做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直線上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90°,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直線上,
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上,連結(jié)
BF、CD. 過(guò)C作CL⊥DE,
交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面積等于,
ΔGAD的面積等于矩形ADLM
的面積的一半,
∴ 矩形ADLM的面積 =.
同理可證,矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ ,即 a^2+b^2=c^2
利用相似三角形的證法

利用相似三角形證明
有許多勾股定理的證明方式,都是基于相似三角形中兩邊長(zhǎng)的比例.
設(shè)ABC為一直角三角形, 直角于角C（看附圖）. 從點(diǎn)C畫上三角形的高,并將此高與AB的交叉點(diǎn)稱之為H.此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因?yàn)樵趦蓚€(gè)三角形中都有一個(gè)直角（這又是由于“高”的定義）,而兩個(gè)三角形都有A這個(gè)共同角,由此可知第三只角都是相等的.同樣道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的.這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系：
因?yàn)锽C=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH
綜合這兩個(gè)方程式,我們得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c
換句話說(shuō):a*a+b*b=c*c
[*]----為乘號(hào)

歐幾里得的證法

《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立. 設(shè)△ABC為一直角三角形,其中A為直角.從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊,使其垂直于對(duì)邊上的正方形.此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等.
在正式的證明中,我們需要四個(gè)輔助定理如下：
如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等.（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半. 任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積. 任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）. 證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形,再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形.
其證明如下：
設(shè)△ABC為一直角三角形,其直角為CAB. 其邊為BC、AB、和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH. 畫出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線.此線將分別與BC和DE直角相交于K、L. 分別連接CF、AD,形成兩個(gè)三角形BCF、BDA. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是線性對(duì)應(yīng)的,同理可證B、A和H. ∠CBD和∠FBA皆為直角,所以∠ABD等于∠FBC. 因?yàn)?AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC,所以△ABD 必須相等于△FBC. 因?yàn)?A 與 K 和 L是線性對(duì)應(yīng)的,所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD. 因?yàn)镃、A和G有共同線性,所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC. 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2. 同理可證,四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2. 把這兩個(gè)結(jié)果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個(gè)正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2. 此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的
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