經(jīng)過很久嘗試終于得到結(jié)果了.
結(jié)論是：6階非Abel群的2階子群共有(3 )個,3階子群共有( 1)個,4階子群共有(0 )個.
首先,由拉格朗日定理知道6階非Abel群的4階子群個數(shù)為零,因為6不能整除4.
然后可以找到3階置換群S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},它是6階非Abel群,
其中二階子群為{(1),(1 2)},{(1),(1 3)}{(1),(2 3)},三階子群為{(1),(1 3 2),(1 2 3)}
你可以驗證一下滿足題意和結(jié)論.
那么關(guān)鍵是討論出了S3以外是否還有其他群滿足.
我們以三階子群作為分類.
1、三階子群個數(shù)為0；2、三階子群個數(shù)為1（這個是上面的情況）；3、三階子群個數(shù)為2.
三階子群個數(shù)為3或3以上的,很明顯構(gòu)造不出來,因為除去單位元1之外,至少還要6個元素,此時階數(shù)為7,不是階非Abel群.所以關(guān)于6階非Abel群的子群問題只有上述三種情況分類.
最后,證明分類1,3不滿足題意.
對于分類1：可設(shè)其為A={1,a,b,c,d,e}.因為沒有三階群,故出去1之外,其他元素的階均為2,所以A的子群為{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}.因為元素的階為2,所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即為自己.同樣的可以討論其他元素.
為了保證群中乘法的封閉性,我們假設(shè)ab=c(推理可知ab不能等于1,ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能為c,d,e,f中的一個,取c）,那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1,所以(ab)^(-1)=ba.這樣我們就有ab=ba.對于其他元素我們也可以這樣討論,那么可發(fā)現(xiàn)這個群地所有元素可交換,此時該群為Abel群,與題目假設(shè)矛盾.
對于分類2：可設(shè)其為A={1,a,b,c,d,e}.因為三階子群個數(shù)為2,可得到出去{1}的子群為
{1,a,b}{1,c,d}{1,e},此時a,b,c,d的階為3,e的階為2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（這一步你自己要好好想想,原因?qū)懫饋硖闊?那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同樣有cd=dc.
現(xiàn)在考慮ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c,矛盾,故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾,故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
現(xiàn)在考慮ae=?
ae=a,ae=e顯然是不可能的.
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e,矛盾
若ae=c,因為(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,兩邊乘以c的逆,ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的討論知道db=e,即ea=e,矛盾
所以此分類下沒有6階非Abel群.
綜上所述,6階非Abel群的2階子群共有(3 )個,3階子群共有( 1)個,4階子群共有(0 )個