已知f(x)=ax^3+3x^2-x-1 （a為常數(shù)）

已知f(x)=ax^3+3x^2-x-1 （a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=-3時(shí),求證：f(x)在R上是減函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f(x)-2x^2,在[1/2,1]上是減函數(shù),求a的取值范圍.
（注：^后面數(shù)字代表多少次方,

數(shù)學(xué)人氣：388 ℃時(shí)間：2020-09-19 05:28:44

優(yōu)質(zhì)解答

求導(dǎo).
（1）當(dāng)a=-3時(shí),f(x)'=3ax^2+6x-1=-9x^2+6x-1=-(9x^2-6x+1)=-(3x-1)^2恒小于或等于零,及f(x)上任何一點(diǎn)的切線的斜率都為負(fù)或零.所以該函數(shù)在R上是減函數(shù).
（2）同樣,求導(dǎo)：記y=f(x)-2x^2為G(X),則：
G（x）'=f(x)'-4x=3ax^2+6x-1-4x=3ax^2+2x-1
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-2x^2,在[1/2,1]上是減函數(shù),所以：
3ax^2+2*1/2-1小于或等于0,3ax^2+2*1-1小于或等于零.
所以,解得a小于或等于零或a小于或等于-1\3
所以a的范圍是a小于或等于-1/3

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