先用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切 n∈ N* ,都有 Xn＞1
然后,在原始等式中,兩邊同時(shí)減去Xn,右側(cè)通分,
得到 X(n+1)－Xn＝(1－Xn)(1＋Xn) / 2Xn
由于第一步已經(jīng)證明了Xn＞1,那么等式右邊的三個(gè)因子,有兩個(gè)是正的,有一個(gè)是負(fù)的,
所以右邊＜0,那么左邊也＜0,也就是 X(n+1)－Xn＜0,即X(n+1)＜Xn 這說(shuō)明它單調(diào)遞減,
而前面已經(jīng)證明了 Xn＞1 說(shuō)明它有下界
那么,Xn的極限存在.令lim Xn＝A,則 lim X(n＋1)也為A,等式兩邊同時(shí)取極限,解一個(gè)關(guān)于A的方程,就可以求出極限A,如果有多個(gè)解,根據(jù)極限的保號(hào)性,應(yīng)取正值