3*a(n+2)-4*a(n+1)+an=0,
特征方程3x^2-4x+1=0兩特征根為x=1或1/3..
這樣有3a(n+2)-a(n+1)=3a(n+1)-an,
繼續(xù)寫,有3a(n+1)-an=3an-a(n-1)=…=3a2-a1=7/3-1/3=2,
因此對于任意的正整數(shù)n,有3a(n+1)-an=2,
3*a2=a1+2,
3^2*a3=3*a2+2*3,
3^3*a4=3^2*a3+2*3^2,
…
3^(n-1)*an=3^(n-2)*a(n-1)+2*3^(n-2),
對于n>2,將各式相加,有:
3^(n-1)*an=a1+2[1+3+…+3^(n-2)]=1/3+3^(n-1)-1=3^(n-1)-2/3,
an=1-2/(3^n),
經(jīng)檢驗(yàn),a1,a2均滿足該公式,
因此,對于任意的正整數(shù)n,有an=1-2/(3^n)..
Sn=a1+…+an=[1-2/(3^1)]+…+[1-2/(3^n)]
=n-2/3*(1-1/3^n)/(1-1/3)=n-1+1/(3^n)..