值等于1.
有兩種解法：
方法1：
設(shè)y=x[ln(1+x)-ln x]；
整理的y=x[ln((1+x)/x)]；
進(jìn)一步整理y=x[ln((1+x)/x)]=x[ln(1+1/x)]；
將方括號(hào)外的x代入方括號(hào)內(nèi)得y=[ln(1+1/x)^x]；
由于當(dāng)x趨向正無(wú)窮大時(shí),lim(1+1/x)^x=e,
故當(dāng)x趨向正無(wú)窮大時(shí),lim[ln(1+1/x)^x]=1.
因此lim x[ln(1+x)-ln x]=1,
方法2：
設(shè)y=x[ln(1+x)-ln x]；
整理的y=x[ln((1+x)/x)]；
進(jìn)一步整理y=x[ln((1+x)/x)]=x[ln(1+1/x)]；(1)
不妨設(shè)a=1/x;(2)
將(2)代入(1)可得x[ln(1+1/x)]=[ln(1+a)]/a,
因此,limx[ln(1+x)-ln x]=lim[ln(1+a)]/a,a趨向于0;
上下同時(shí)求導(dǎo)得lim[ln(1+a)]/a=lim1/(1+a),a趨向于0.
當(dāng)a趨向于0時(shí),解得lim1/(1+a)=1,
因此lim x[ln(1+x)-ln x]=1,