函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
（Ⅰ）f′(x)＝

x2+ax?2a2

x

＝

(x+2a)(x?a)

x

，…（4分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定義域?yàn)椋?，+∞）上單調(diào)遞增； …（5分）

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：
此時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增；          …（7分）

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：
此時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，-2a）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，-2a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（-2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（10分）
（1）當(dāng)-2a≥e，即a≤?

e

2

時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]單調(diào)遞減，
所以，[f(x)]min＝f(e)＝?2a2+ea+

1

2

e2；                     …（11分）
（2）當(dāng)1＜-2a＜e，即?

e

2

＜a＜?

1

2

時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，-2a）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-2a，e）單調(diào)遞增，所以[f(x)]min＝f(?2a)＝?2a2ln(?2a)，…（12分）
（3）當(dāng)-2a≤1，即?

1

2

≤a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]單調(diào)遞增，
所以[f(x)]min＝f(1)＝a+

1

2

．…（13分）