設二次函數f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)中a,b,c均為整數,且f(0),f(1)均為奇數,用反證法證明方程f(X)=0無整數根

數學人氣：903 ℃時間：2020-04-14 20:33:56

優(yōu)質解答

假設f(x)=0有實數根,并設其為x1
由已知：
f(0)=c為奇數
f(1)=a+b+c為奇數
所以a+b為偶數
a、b為兩奇數或者兩偶數
當a、b為兩偶數時,ax1^2+bx1為偶數,顯然不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
當a、b為兩奇數且x1不為偶數時,ax1^2為奇數,bx1也為奇數,ax1^2+bx1為偶數,也不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
當a、b為兩奇數且x1為偶數時,ax1^2+bx1為偶數,顯然不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
綜上所述,當f(x)=0有實數根成立時,與所設條件矛盾,故f(x)=0無實數根