原式=2∫[0,π] lncos(x/2)dx令t=x/2,則原式=4∫[0,π/2] lncostdt
令u=π/2-t,得:原式=4∫[0,π/2] lnsinudu
而∫[0,π/2] lnsinudu=-πl(wèi)n2/2,所以原式=-2πl(wèi)n2
∫[0,π/2] lnsinudu=-πl(wèi)n2/2證明如下:
令u=2r,則原式=2∫[0,π/4] lnsin2rdr=2∫[0,π/4] ln2sinrcosrdr
=2∫[0,π/4] ln2dr+2∫[0,π/4] lnsinrdr+2∫[0,π/4] lncosrdr
令s=π/2-r,則原式=πl(wèi)n2/2+2∫[0,π/4] lnsinrdr+2∫[π/4,π/2] lnsinrdr
=πl(wèi)n2/2+2∫[0,π/2] lnsinudu
所以∫[0,π/2] lnsinudu=-πl(wèi)n2/2
至于補(bǔ)充題:f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1,那么f(x)不就=-x^2/2+e^-x -1嗎?下面這個(gè)補(bǔ)充題目 是，f(x)為連續(xù)函數(shù)，∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1,那么f(x)=令u=t-x,則t=0時(shí),u=-x,t=x時(shí),u=0,所以原式左邊=∫[-x,0]f(u)d(u+x)=∫[-x,0]f(u)du=-∫[0,-x]f(u)du=-x^2/2+e^(-x)-1兩邊求導(dǎo)得:f(-x)=-x-e^(-x)所以f(x)=x-e^xf(-x)前面是不是少了一個(gè)負(fù)號(hào)？-∫[0,-x]f(u)du=-x^2/2+e^(-x)-1 -f(-x)=-x-e^(-x) 所以f(x)=-x+e^x沒(méi)有,因?yàn)樯舷奘?x,所以是f(-x)*(-x)'=-f(-x),加下定積分前面的-,所以就沒(méi)-號(hào)了