已知圓C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四個不同的點到直線L:Y=K(X-7)+6的距離等于√5,則K的取值范圍是?

數(shù)學人氣：701 ℃時間：2020-01-14 15:52:52

優(yōu)質(zhì)解答

∵圓C:X²+Y²-4X-2Y-15=0的圓心為（2,1）,半徑為2√5
∴要使圓C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四個不同的點到直線L:Y=K(X-7)+6的距離等于√5,必須滿足
圓心（2,1）到直線L:Y=K(X-7)+6的距離小于√5
∵直線L:Y=K(X-7)+6過定點（7,6）
∴點（2,1）和點（7,6）的距離等于5√2,直線的斜率=1(與x軸夾角為45°）
∵圓心（2,1）到直線L:Y=K(X-7)+6的距離小于√5可轉換直線L:Y=K(X-7)+6與點（2,1）和點（7,6）的直線夾角α正切值小于√5/√（50-5）=1/3
∴直線L與x軸夾角在（45°-α,45°+α）
由tan45°=1,tanα=1/3得
tan（45°-α）=1/2,tan（45°+α）=2
∴K的取值范圍是（1/2,2）