取AD中點F,過F作FG垂直PD于G,連接BG,連接BD
因為 AE垂直PD,FG垂直PD
所以 AE//FG
所以 FG與CD所成角就是AE與CD所成角
因為 F是AD中點
所以 DF＝AD/2＝a＝BC
因為 AD//BC
所以 四邊形BCDF是平行四邊形
所以 BF//CD
所以 FG與BF所成角就是FG與CD所成角,也就是AE與CD所成角,即角BFG是所求的角
因為 PA垂直底面ABCD
所以 PA垂直AD,PA垂直AB
在Rt△PAD中,角PDA＝30度,AD＝2a
所以 PA＝(2√3/3)a,PD＝(4√3/3)a
同理 AE＝a,FG＝a/2,DG＝(√3/2)a
所以 PG＝PD－DG＝(5√3/6)a
在Rt△PAB中,PA＝(2√3/3)a,AB＝a
所以 PB＝(√21/3)a
在Rt△ABD中,AB＝a,AD＝2a
所以 BD＝√5a
在△PBD中,PD＝(4√3/3)a,PB＝(√21/3)a,BD＝√5a
所以 cosBPD＝√7/7
在△PBG中,cosBPD＝√7/7,PB＝(√21/3)a,PG＝(5√3/6)a
所以 BG^2＝11/4
在Rt△BAF中,AF＝AD/2＝a,AB＝a
所以 BF＝√2a
在△BFG中,BF＝√2a,FG＝a/2,BG^2＝11/4
所以 cosBFG＝-√2/4,即角BFG是鈍角
因為 異面直線所成的角是銳角
所以 AE與CD所成角的余弦值是 √2/4