n(n+1)(2n+1)/6
方法1：n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3
兩邊都從1到n求和
左邊為所求
右邊=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
或者
先取一輔助數(shù)列：記為sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1),將其配成這樣：sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3,又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n),
所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6.
方法2：數(shù)學(xué)歸納法
n=2的時候,1＝(1*2*3)/6=1
如果對n－1的時候成立,則有1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
那么對于n的時候
1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＋n的平方
＝((n-1)n(2n-1))/6+n*n
＝n/6*(2n^2-3n+1+6n)
＝n/6*(n+1)(2n+1)
＝[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6
所以對n的時候也成立
由以上,可以知道1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
方法3：待定系數(shù)法
設(shè)1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n
將n=1、2、3分別代入,解方程組可得a=1/3
b=1/2
c=1/6