999.
1999^n-1=（1999-1）*（……）一定是1998的倍數(shù),-999n一定是999的倍數(shù),那1999^n-999n-1一定是999的倍數(shù),而且當n=1的時候1999^n-999n-1=999,那m最大也只能是999.
我暈……那這么跟你說吧……
首先當n=1的時候1999^n-999n-1=999,對任意自然數(shù)n,m能整除1999^n-999n-1,那說明m最大也只能是999.
然后我們證明999確實是能整除1999^n-999n-1的,其中-999n這一項明顯能被999整除,還剩1999^n-1.然后這個a^n-b^n是可以變形的,a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],這個式子看起來很復雜,其實可以一項項消掉,所以不難記,而且我覺得你很可能知道……然后就有1999^n-1=(1999-1)*(……)=2*999*（……）,后邊的那個括號具體是什么無關緊要,反正是個整數(shù),于是1999^n-1也是999的倍數(shù)（任意的n）,那1999^n-999n-1就一定是999的倍數(shù),所以m=999.