設(shè)P為上三角矩陣,Q不是；且Q是P的逆矩陣.由Q不是上三角矩陣,存在i>j使得Q(ij)≠0.取Q的第j列中最下面一個非零元,假設(shè)在第l行（則l>=i>j）,則Q(lj)≠0,且對任意k>l有Q(kj)=0.所以
(PQ)(lj)=∑_k P(lk)Q(kj)=∑_{kl} P(lk)Q(kj)
由P為上三角矩陣,當(dāng)kl時總有Q(kj)=0,所以第三項等于0；所以只剩下第二項,即
(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)
P(ll)是可逆上三角矩陣P的對角元,所以P(ll)≠0；由l的取法知Q(lj)≠0.所以(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)≠0（l>j）.但由假設(shè),Q是P的逆矩陣,所以PQ為單位矩陣,特別地是對角矩陣,和(PQ)(lj)≠0（l>j）矛盾.所以假設(shè)不成立,Q一定是上三角矩陣