三倍角公式的證明
思路：三部曲：先3x分解成2x+x,用和角公式展開；再用倍角公式統(tǒng)一成單角x；最后化簡成一種函數(shù),便于記憶和使用.
●三倍角的正弦公式
sin3x=3sinx-4sin^3 x
證明：
sin3x
=sin(2x+x) （分解成2x+x）
=sin2xcosx+cos2xsinx（和角正弦公式展開）
=2sinxcosxcosx+(1-2sin^2 x)sinx（用倍角余弦公式統(tǒng)一成單角x）
=2sinx(1-sin^2 x)+ (1-2sin^2 x)sinx（化簡成一種函數(shù)）
=3sinx-4sin^3 x
●三倍角的余弦公式
cos3x=4cos^3x-3cos x
證明：
cos3x
=cos(2x+x) （分解成2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx（和角余弦公式展開）
=（2cos^2 x-1）cosx-2sinxcosxsinx（用倍角余弦公式統(tǒng)一成單角x）
=（2cos^2 x-1）cosx-2cosx(1-cos^2 x)（化簡成一種函數(shù)）
=4cos^3 x-3cosx
●三倍角的正切公式
tan3x=(3t-t^3)/(1-3t^2),其中t=tanx.
證明：
令t= tanx,tan2x=2t/(1-t^2)
tan3x=tan(2x+x) （分解成2x+x）
=(tan2x+tanx)/(1-tan2x tanx) （和角正切公式展開）
=[2t/(1-t^2)+t]/[1-2t/(1-t^2)•t] （用倍角正切公式統(tǒng)一成單角x）
=(3t-t^3)/(1-3t^2),其中t=tanx.（化簡）
應(yīng)用舉例
求證：tan3x=tan(60+x)tan(60-x)tanx
證明：令t= tanx
tan(60+x)=(√3+t)/(1-√3t)
tan(60-x) =(√3-t)/(1+√3t)
tan(60+x)tan(60-x)tanx
=(3-t^2)t/(1-3t^2)
=tan3x(三倍角正切公式)
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