你說(shuō)的對(duì),利用微分進(jìn)行近似計(jì)算時(shí),Δx并不是無(wú)窮小量,而是一個(gè)確定的量,無(wú)窮小是一個(gè)以零為極限的變量,確定的量不可能是無(wú)窮小量,但是為什么在上面微分的定義中卻使用了高階的無(wú)窮小o(Δx)的概念,表達(dá)式o(Δx)表示的是比Δx趨于零的速度快的無(wú)窮小量,這就意味著Δx也是無(wú)窮小量,要搞懂為什么,首先需要搞懂微分的定義.
函數(shù)的增量Δy表示為兩個(gè)量之和：Δy=AΔx+o(Δx),Δy,AΔx,o(Δx)均是確定的量,這里的等式是通常意義下的等式,該表達(dá)式是個(gè)“靜態(tài)的”,將一個(gè)量表示為兩個(gè)量之和的方法很多,這里要求將增量Δy表示為兩個(gè)量之和,要求其中一個(gè)量應(yīng)是自變量增量的一個(gè)倍數(shù),另一個(gè)變量是當(dāng)自變量增量Δx趨于零時(shí),它比Δx趨于零的速度快,為了確定或刻劃這兩個(gè)量的特征用了“動(dòng)態(tài)的”形式,一般地,一個(gè)量A表示為另外兩個(gè)量B,C之和A=B+C,為確定或刻劃量B,C的特證,可加一些“動(dòng)態(tài)的”條件,即如果B按某種方式變化了,需要C按另外一種方式變化,當(dāng)然前提是兩個(gè)量B,C之間是“關(guān)聯(lián)的”,不是獨(dú)立的.
因此將那個(gè)是自變量增量倍數(shù)的量記為AΔx,將那個(gè)當(dāng)自變量增量Δx趨于零時(shí),它比Δx趨于零的速度快的量記為o(Δx),如果Δx是確定的量,則o(Δx)= Δy-AΔx也是確定的量,只有當(dāng)Δx→0時(shí),才體現(xiàn)出符號(hào)o(Δx)的含義,它是比Δx趨于零的速度更快的無(wú)窮小量.
這就回答了你的提問(wèn),為了更好地理解微分的概念,需要了解微分和積分之間的關(guān)系,下面就談?wù)勎⒎趾头e分之間的關(guān)系.
如果能將函數(shù)的增量Δy表示為上述特征的兩個(gè)量之和,其中AΔx就稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于自變量增量Δx的微分,記為dy.
如果變量y是變量x的函數(shù)y=f(x),由Δy=AΔx+o(Δx)得Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx,當(dāng)Δx→0時(shí),由高階無(wú)窮小的定義可知o(Δx)/Δx→0,Δy/Δx→A,從而可知A是f(x)的1階導(dǎo)數(shù),A=f′(x).
微分不單純是為了近似計(jì)算,它有著更深刻的理論意義.由高階無(wú)窮小量的定義可知,當(dāng)Δx→0時(shí),o=o(Δx)/Δx→0,故高階無(wú)窮小量o(Δx)可表示為o(Δx)=oΔx,其中當(dāng)Δx→0時(shí),o→0,將自變量變化范圍[a,b]分為一些小區(qū)間
a=x0