1.連續(xù)型
設(shè)X的密度函數(shù)為p(x),則
P（IX-E(X)I≥ε）=(對滿足IX-E(X)I≥ε的x進(jìn)行積分) ∫ p(x)dx
≤(對滿足IX-E(X)I≥ε的x進(jìn)行積分) ∫ [(X-E(X))^2/ε^2]p(x)dx
≤(對x從負(fù)無窮到正無窮進(jìn)行積分) ∫ [(X-E(X))^2/ε^2]p(x)dx
=Var(x)/ε^2
不等式得證.
2.離散型
離散型實(shí)際上和連續(xù)型一樣,只是將積分號換成求和號,將p(x)換成P(X=x),然后求和的條件和上述積分的條件一樣,如下
P（IX-E(X)I≥ε）=(對滿足IX-E(X)I≥ε的x進(jìn)行求和) Σ P(X=x)
≤(對滿足IX-E(X)I≥ε的x進(jìn)行求和) Σ [(X-E(X))^2/ε^2]P(X=x)
≤(對x從負(fù)無窮到正無窮進(jìn)行求和) Σ [(X-E(X))^2/ε^2]P(X=x)
=Var(x)/ε^2
不等式得證.