設(shè)長(zhǎng)方形內(nèi)接于半徑為r的園,求證面積最大的是正方形,它的面積等于2r^2
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證明：
長(zhǎng)方形內(nèi)接于一個(gè)園,因?yàn)閳A周角是直角,可以證明：長(zhǎng)方形對(duì)角線必然經(jīng)過(guò)園心,是其直徑.
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬分別為x,y,則
長(zhǎng)方形面積S=xy,
√[x^2+y^2]=2r,
x^2+y^2=4r^2,
y=√[4a^2-x^2],
S=xy=x√[4r^2-x^2],
dS/dx=√[4r^2-x^2]+x{0.5*[4r^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}=
=√[4r^2-x^2]-x^2/√[4r^2-x^2]=
=[4r^2-2x^2]/√[4r^2-x^2],
dS/dx=0時(shí),S才有可能有極值,進(jìn)而才可能有極大值,
[4r^2-2x^2]/√[4r^2-x^2]=0,
長(zhǎng)方形的一個(gè)邊長(zhǎng)不可能等于對(duì)角線2r長(zhǎng),即 x≠2r,x^2≠4r^2,
x^2=2a^2,x=√2a,舍棄x是負(fù)值的解,
y=√[4r^2-x^2]=√2r=x,
因?yàn)檫@是實(shí)際問(wèn)題,面積極值也是極大值、最大值,
也就是說(shuō),在長(zhǎng)方形對(duì)角線長(zhǎng)固定時(shí),正方形的面積最大.
其面積S=xy=x^2=[√2r]^2=2r^2.
證明.