設(shè)f(x)=ln(x+1)-(arctanx)÷(1+x)
原題就是求證x>0,f(x）>0;
左右同乘1+x變形得g(x)=f(x)*(1+x)=ln(x+1)*（1+x）-(arctanx)
因?yàn)閤+1大于0,所以原題就是求證g(x)>0.
求導(dǎo)得一階導(dǎo)數(shù)g'(x)=ln(x+1)+1- 1/(1+x²)
再次求導(dǎo)得二階導(dǎo)數(shù)g''(x)=1/(x+1)+ 2x/(1+x²)²
因?yàn)閤>0,所以二階導(dǎo)數(shù)g''(x)>0,
所以一階導(dǎo)數(shù)為增函數(shù),最小值為當(dāng)x=0時(shí)取得的,即g'(0)=0
因?yàn)閤>0,所以一階導(dǎo)數(shù)g(x)>0.
所以原函數(shù)g(x)為增函數(shù),
當(dāng)x=0時(shí)取最小值g(0)=0
因?yàn)閤>0,所以g(x)>0成立
即ln(x+1)*（1+x）-(arctanx)>0
所以當(dāng)x大于0時(shí),ln(x+1)大于(arctanx)÷(1+x)