一元二次方程的解法
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中數(shù)學的一個重點內容,也是今后學習數(shù)學的基
礎,應引起同學們的重視.
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2
的整式方程.
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程.一元二次方程有四種解
法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法.用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解為x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做,（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以
此方程也可用直接開平方法解.
（1）(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
（2） 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項系數(shù)化為1：x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=
當b2-4ac≥0時,x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
將常數(shù)項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項系數(shù)化為1：x2-x=
方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項
系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根.
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓
兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個
根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）
(1)(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解.
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解.
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解.
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解.
(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.
小結：
一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般
形式,同時應使二次項系數(shù)化為正數(shù).
直接開平方法是最基本的方法.
公式法和配方法是最重要的方法.公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法）,在使用公式
法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程
是否有解.
配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程.但是,配方法在學習其他數(shù)學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學方
法之一,一定要掌握好.（三種重要的數(shù)學方法：換元法,配方法,待定系數(shù)法）.
例5．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(選學）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算.觀察后發(fā)現(xiàn),方程左邊可用平方差
公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積.
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解.
（3）化成一般形式后利用公式法解.
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (選學）
分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同類項化成一般形式后再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我
們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法）
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解.
例7．用配方法解關于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數(shù)項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時,≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q