分析 這是一個(gè)關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項(xiàng)式,可用因式定理分解,
以a為主元,設(shè)f(a)=a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b),易知當(dāng)a=b和a=c時(shí),都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項(xiàng)式的因式,同理可知b-c也是多項(xiàng)式的因式.
因此a-b,b-c,c-a是多項(xiàng)式的三個(gè)因式,而四次多項(xiàng)式還有一個(gè)因式,由輪換對(duì)稱性可知這個(gè)一次因式應(yīng)是a+b+c,故可設(shè)a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=m(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中m為待定系數(shù)）,取,a=0,b=1,c=-1可得m=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).輪換對(duì)稱性:如果按字母輪換后，所得的代數(shù)式與原代數(shù)式相同，則稱原來的代數(shù)式是關(guān)于這些字母的輪換對(duì)稱式。輪換對(duì)稱式的性質(zhì)：輪換對(duì)稱式的和、差、積、商仍是輪換對(duì)稱式所以可以知道另個(gè)一因式也是輪換對(duì)稱式，而且是一次的，所以只能是a+b+c