離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的物理意義：
傅立葉變換是以時(shí)間為自變量的信號(hào)和以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的一種變換關(guān)系.
由于自變量時(shí)間和頻率可以是連續(xù)的,也可以是離散的,因此可以組成幾種不同的變換對(duì)
非周期的連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率-----傅里葉變換
正變換
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
反變換
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt
由于數(shù)字信號(hào)處理是希望在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)各種運(yùn)算和變換,其所涉及的變量和運(yùn)算都是離散的,而前面三種傅里葉變換對(duì)中,時(shí)域或頻域中至少有一個(gè)域是連續(xù)的,所以都不可以在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算和實(shí)現(xiàn),因此對(duì)于數(shù)字信號(hào)處理,應(yīng)該找到在時(shí)域和頻域都是離散的傅里葉變換,即離散傅里葉變換
前面的討論已經(jīng)得出結(jié)論:時(shí)域的周期性導(dǎo)致頻域的離散型,時(shí)域的連續(xù)函數(shù)在頻域形成非周期頻譜；而時(shí)域的離散型造成頻域的周期延拓,時(shí)域的非周期性對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)函數(shù)形式.那么對(duì)于時(shí)域和頻域都是離散的離散傅里葉變換,應(yīng)該形成時(shí)域和頻域都具有周期性的函數(shù).
在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的模擬信號(hào)xn(t),其頻譜函數(shù)Xn(jΩ)也是連續(xù)函數(shù),為了利用DFT對(duì)xn(t)進(jìn)行譜分析,對(duì)xn(t)進(jìn)行時(shí)域采樣得到x(n)= xn(nT),再對(duì)x(n)進(jìn)行DFT,得到X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區(qū)間[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣,這里x(n)和X(k)都是有限長序列
然而,傅里葉變換理論證明,時(shí)間有限長的信號(hào)其頻譜是無限寬的,反之,弱信號(hào)的頻譜有限款的則其持續(xù)時(shí)間將為無限長,因此,按采樣定理采樣時(shí),采樣序列應(yīng)為無限長,這不滿足DFT的條件.實(shí)際中,對(duì)于頻譜很寬的信號(hào),為防止時(shí)域采樣后產(chǎn)生‘頻譜混疊’,一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分,使信號(hào)的貸款小于折疊頻率；同樣對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長的信號(hào),采樣點(diǎn)數(shù)太多也會(huì)導(dǎo)致存儲(chǔ)和計(jì)算困難,一般也是截取有限點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.上述可以看出,用DFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析,只能是近似的,其近似程度取決于信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長度