關(guān)于證明“Φ是任何集合的子集”的疑問(wèn)
大多書(shū)上都是用反證法（假設(shè)存在元素x屬于Φ,但x不屬于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假設(shè)的內(nèi)容“Φ不是任何集合的子集”是錯(cuò)誤的,即待證結(jié)論“Φ是任何集合的子集”是正確的）.
但是我覺(jué)得這樣證不對(duì).換個(gè)思路,如果要證明“Φ是任何集合的子集”,只要能證明（元素x屬于Φ,且x屬于集合A）就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假設(shè)（元素x屬于Φ,且x屬于集合A）是錯(cuò)誤的,即“Φ不是任何集合的子集”.難道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我覺(jué)得用Φ的定義（Φ不存在任何元素）和子集的定義（元素x屬于A,且x屬于B,那么A是B的子集）這2個(gè)“工具”來(lái)反證“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因?yàn)橛米蛹亩x來(lái)推翻假設(shè),前提是子集定義中的集合A,B必須都是有元集合,即非Φ集合,不適合于Φ.所以我認(rèn)為“Φ是任何集合的子集”這個(gè)應(yīng)該是人為強(qiáng)行賦予的定義,而非通過(guò)反證明推出來(lái)的一個(gè)定理.
子集的定義[若存在（所有）元素x屬于集合A，那么x都屬于集合B，當(dāng)且僅當(dāng)這樣A就是B的子集]
設(shè)命題P：（所有）元素x屬于集合A；
Q：x屬于集合B；
Z：A是B的子集；
子集的定義可化成命題公式是：ZP->Q （1）
再設(shè)命題a：元素x屬于Φ；
b：元素x屬于任意集合A；
c：Φ是任意集合A的子集；
帶入上命題公式（1）中，其實(shí)就是要證明帶入后是一個(gè)永真式，即命題a=T，b=F是不可能的，因?yàn)槊}a的真值永=T（Φ的定義），所以命題c永=T，即“Φ是任意集合A的子集”......證畢！
是不是這樣的？