怎樣求圓面積?這已是一個非常簡單的問題,用公式一算,結(jié)論就出來了.可是你可知道這個公式是怎樣得來的嗎?在過去漫長的年代里,人們?yōu)榱搜芯亢徒鉀Q這個問題,不知遇到了多少困苦,花費了多少精力和時間.
在平面圖形中,以長方形的面積最容易計算了.用大小一樣的正方形磚鋪墊長方形地面,如果橫向用八塊,縱向用六塊,那一共就用了8×6=48塊磚.所以求長方形面積的公式是：長×寬.
求平行四邊形的面積,可以用割補的方法,把它變成一個與它面積相等的長方形.長方形的長和寬,就是平行四邊形的底和高.所以求平行四邊形面積的公式是：底×高.
求三角形的面積,可以對接上一個和它全等的三角形,成為一個平行四邊形.這樣,三角形的面積,就等于和它同底同高的平行四邊形面積的一半.因此,求三角形面積的公式是：底×高÷2
任何一個多邊形,因為可以分割成若干個三角形,所以它的面積,就等于這些三角形面積的和.
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔,底座是一個正方形,占地52900m2.它的底座邊長和角度計算十分準確,誤差很小,可見當時測算大面積的技術(shù)水平已經(jīng)很高.
圓是最重要的曲邊形.古埃及人把它看成是神賜予人的神圣圖形.怎樣求圓的面積,是數(shù)學(xué)對人類智慧的一次考驗.
也許你會想,既然正方形的面積那么容易求,我們只要想辦法做出一個正方形,使它的面積恰好等于圓面積就行了.是啊,這樣的確很好,但是怎樣才能做出這樣的正方形呢?
你知道古代三大幾何難題嗎?其中的一個,就是剛才講到的化圓為方.這個起源于古希臘的幾何作圖題,在2000多年里,不知難倒了多少能人,直到19世紀,人們才證明了這個幾何題,是根本不可能用古代人的尺規(guī)作圖法作出來的.
化圓為方這條路行不通,人們不得不開動腦筋,另找出路.
我國古代的數(shù)學(xué)家祖沖之,從圓內(nèi)接正六邊形入手,讓邊數(shù)成倍增加,用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積.
古希臘的數(shù)學(xué)家,從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時入手,不斷增加它們的邊數(shù),從里外兩個方面去逼近圓面積.
古印度的數(shù)學(xué)家,采用類似切西瓜的辦法,把圓切成許多小瓣,再把這些小瓣對接成一個長方形,用長方形的面積去代替圓面積.
眾多的古代數(shù)學(xué)家煞費苦心,巧妙構(gòu)思,為求圓面積作出了十分寶貴的貢獻.為后人解決這個問題開辟了道路.
16世紀的德國天文學(xué)家開普勒,是一個愛觀察、肯動腦筋的人.他把丹麥天文學(xué)家第谷遺留下來的大量天文觀測資料,認真地進行整理分析,提出了著名的“開普勒三定律”.開普勒第一次告訴人們,地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓,太陽位于其中的一個焦點上.
開普勒當過數(shù)學(xué)老師,他對求面積的問題非常感興趣,曾進行過深入的研究.他想,古代數(shù)學(xué)家用分割的方法去求圓面積,所得到的結(jié)果都是近似值.為了提高近似程度,他們不斷地增加分割的次數(shù).但是,不管分割多少次,幾千幾萬次,只要是有限次,所求出來的總是圓面積的近似值.要想求出圓面積的精確值,必須分割無窮多次,把圓分成無窮多等分才行.
開普勒也仿照切西瓜的方法,把圓分割成許多小扇形；不同的是,他一開始就把圓分成無窮多個小扇形.
圓面積等于無窮多個小扇形面積的和,所以
在最后一個式子中,各段小弧相加就是圓的周長2πR,所以有
這就是我們所熟悉的圓面積公式.
開普勒運用無窮分割法,求出了許多圖形的面積.1615年,他將自己創(chuàng)造的這種求圓面積的新方法,發(fā)表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中.
開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形,并果敢地斷言：無窮小的扇形面積,和它對應(yīng)的無窮小的三角形面積相等.他在前人求圓面積的基礎(chǔ)上,向前邁出了重要的一步.
《葡萄酒桶的立體幾何》一書,很快在歐洲流傳開了.數(shù)學(xué)家們高度評價開普勒的工作,稱贊這本書是人們創(chuàng)造求圓面積和體積新方法的靈感源泉.
一種新的理論,在開始的時候很難十全十美.開普勒創(chuàng)造的求圓面積的新方法,引起了一些人的懷疑.他們問道：開普勒分割出來的無窮多個小扇形,它的面積究竟等于不等于零?如果等于零,半徑OA和半徑OB就必然重合,小扇形OAB就不存在了；如果客觀存在的面積不等于零,小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等.開普勒把兩者看作相等就不對了.
面對別人提出的問題,開普勒自己也解釋不清.
卡瓦利里是意大利物理學(xué)家伽利略的學(xué)生,他研究了開普勒求圓面積方法存在的問題.
卡瓦利里想,開普勒把圓分成無窮多個小扇形,這每個小扇形的面積到底等不等于圓面積,就不好確定了.但是,只要小扇形還是圖形,它是可以再分的呀.開普勒為什么不再繼續(xù)分下去了呢?要是真的再細分下去,那分到什么程度為止呢?這些問題,使卡瓦利里陷入了沉思之中.
有一天,當卡瓦利里的目光落在自己的衣服上時,他忽然靈機一動：唉,布不是可以看成為面積嘛!布是由棉線織成的,要是把布拆開的話,拆到棉線就為止了.我們要是把面積像布一樣拆開,拆到哪兒為止呢?應(yīng)該拆到直線為止.幾何學(xué)規(guī)定直線沒有寬度,把面積分到直線就應(yīng)該不能再分了.于是,他把不能再細分的東西叫做“不可分量”.棉線是布的不可分量,直線是平面面積的不可分量.
卡瓦利里還進一步研究了體積的分割問題.他想,可以把長方體看成為一本書,組成書的每一頁紙,應(yīng)該是書的不可分量.這樣,平面就應(yīng)該是長方體體積的不可分量.幾何學(xué)規(guī)定平面是沒有薄厚的,這樣也是有道理的.
卡瓦利里緊緊抓住自己的想法,反復(fù)琢磨,提出了求圓面積和體積的新方法.
1635年,當《葡萄酒桶的立體幾何》一書問世20周年的時候,意大利出版了卡瓦利里的《不可分量幾何學(xué)》.在這本書中,卡瓦利里把點、線、面,分別看成是直線、平面、立體的不可分量；把直線看成是點的總和,把平面看成是直線的總和,把立體看成是平面的總和.
卡瓦利里還根據(jù)不可分量的方法指出,兩本書的外形雖然不一樣,但是,只要頁數(shù)相同,薄厚相同,而且每一頁的面積也相等,那么,這兩本書的體積就應(yīng)該相等.他認為這個道理,適用于所有的立體,并且用這個道理求出了很多立體的體積.這就是有名的“卡瓦利里原理.”
事實上,最先提出這個原理的,是我國數(shù)學(xué)家祖 .比卡瓦利里早1000多年,所以我們叫它“祖 原理”或者“祖 定理”.
在一個正方形里,圓占正方形面積的78.5% 在一個圓里畫一個最大的正方形,正方形面積占圓形面積的157%.