每一個括號里的內(nèi)容,都可以用 2n-1+2n+……+3n-2 來表示,只不過讓n取不同的值即可.
當n=1時,2n-1+2n+……+3n-2=1
當n=2時,2n-1+2n+……+3n-2=(3+4)
當n=3時,2n-1+2n+……+3n-2=(5+6+7)
……
所以我們先算2n-1+2n+……+3n-2的值
這很明顯是個等差數(shù)列,用求和公式可以求出
2n-1+2n+……+3n-2=5n²/2-3n/2
要求1+(3+4)+(5+6+7)+……(2n-1+2n+……+3n-2)的值只不過是令n=1,n=2,n=3,……,n=n,再把所有和相加而已.
n=1時,S1=5×1²/2-3×1/2=1
n=2時,S2=5×2²/2-3×2/2=(3+4)
n=3時,S3=5×3²/2-3×3/2=(5+6+7)
……
n=n時,Sn=5n²/2-3n/2=(2n-1+2n+……+3n-2)
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=S1+S2+S3+……+Sn
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=(5×1²/2-3×1/2)+(5×2²/2-3×2/2)+(5×3²/2-3×3/2)+……+(5n²/2-3n/2)
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=(5/2)(1²+2²+3²+……+n²)-(3/2)(1+2+3+……+n)
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=(5/2)×n(n+1)(2n+1)/6-(3/2)×n(n+1)/2
整理得,
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=n(n+1)(5n/6-1/3)