過橋問題（1）
1. 一列火車經(jīng)過南京長江大橋,大橋長6700米,這列火車長140米,火車每分鐘行400米,這列火車通過長江大橋需要多少分鐘?
分析：這道題求的是通過時間.根據(jù)數(shù)量關(guān)系式,我們知道要想求通過時間,就要知道路程和速度.路程是用橋長加上車長.火車的速度是已知條件.
總路程： （米）
通過時間： （分鐘）
答：這列火車通過長江大橋需要17.1分鐘.
2. 一列火車長200米,全車通過長700米的橋需要30秒鐘,這列火車每秒行多少米?
分析與這是一道求車速的過橋問題.我們知道,要想求車速,我們就要知道路程和通過時間這兩個條件.可以用已知條件橋長和車長求出路程,通過時間也是已知條件,所以車速可以很方便求出.
總路程： （米）
火車速度： （米）
答：這列火車每秒行30米.
3. 一列火車長240米,這列火車每秒行15米,從車頭進山洞到全車出山洞共用20秒,山洞長多少米?
分析與火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的.火車頭進山洞就相當(dāng)于火車頭上橋；全車出洞就相當(dāng)于車尾下橋.這道題求山洞的長度也就相當(dāng)于求橋長,我們就必須知道總路程和車長,車長是已知條件,那么我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出總路程.
總路程：
山洞長： （米）
答：這個山洞長60米.
和倍問題
1. 秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲,媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍,問秦奮和媽媽各是多少歲?
我們把秦奮的年齡作為1倍,“媽媽的年齡是秦奮的4倍”,這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當(dāng)于秦奮年齡的5倍是40歲,也就是（4＋1）倍,也可以理解為5份是40歲,那么求1倍是多少,接著再求4倍是多少?
（1）秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奮的年齡：40÷5＝8歲
（3）媽媽的年齡：8×4＝32歲
綜合：40÷（4＋1）＝8歲 8×4＝32歲
為了保證此題的正確,驗證
（1）8＋32＝40歲 （2）32÷8＝4（倍）
計算結(jié)果符合條件,所以解題正確.
2. 甲乙兩架飛機同時從機場向相反方向飛行,3小時共飛行3600千米,甲的速度是乙的2倍,求它們的速度各是多少?
已知兩架飛機3小時共飛行3600千米,就可以求出兩架飛機每小時飛行的航程,也就是兩架飛機的速度和.看圖可知,這個速度和相當(dāng)于乙飛機速度的3倍,這樣就可以求出乙飛機的速度,再根據(jù)乙飛機的速度求出甲飛機的速度.
甲乙飛機的速度分別每小時行800千米、400千米.
3. 弟弟有課外書20本,哥哥有課外書25本,哥哥給弟弟多少本后,弟弟的課外書是哥哥的2倍?
思考：（1）哥哥在給弟弟課外書前后,題目中不變的數(shù)量是什么?
（2）要想求哥哥給弟弟多少本課外書,需要知道什么條件?
（3）如果把哥哥剩下的課外書看作1倍,那么這時（哥哥給弟弟課外書后）弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的幾倍?
思考以上幾個問題的基礎(chǔ)上,再求哥哥應(yīng)該給弟弟多少本課外書.根據(jù)條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書.如果我們把哥哥剩下的課外書看作1倍,那么這時弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的2倍,也就是兄弟倆共有的倍數(shù)相當(dāng)于哥哥剩下的課外書的3倍,而兄弟倆人課外書的總數(shù)始終是不變的數(shù)量.
（1）兄弟倆共有課外書的數(shù)量是20＋25＝45.
（2）哥哥給弟弟若干本課外書后,兄弟倆共有的倍數(shù)是2＋1＝3.
（3）哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45÷3＝15.
（4）哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是25－15＝10.
試著列出綜合算式：
4. 甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸,后來從甲庫運出30噸,給乙?guī)爝\進10噸,這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍,兩個糧庫原來各存糧多少噸?
根據(jù)甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸,后來從甲庫運出30噸,給乙?guī)爝\進10噸,可求出這時甲、乙兩庫共存糧多少噸.根據(jù)“這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍”,如果這時把乙?guī)齑婕Z作為1倍,那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當(dāng)于乙存糧的3倍.于是求出這時乙?guī)齑婕Z多少噸,進而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸.最后就可求出甲庫原來存糧多少噸.
甲庫原存糧130噸,乙?guī)煸婕Z40噸.
列方程組解應(yīng)用題（一）
1. 用白鐵皮做罐頭盒,每張鐵皮可制盒身16個,或制盒底43個,一個盒身和兩個盒底配成一個罐頭盒,現(xiàn)有150張鐵皮,用多少張制盒身,多少張制盒底,才能使盒身與盒底正好配套?
依據(jù)題意可知這個題有兩個未知量,一個是制盒身的鐵皮張數(shù),一個是制盒底的鐵皮張數(shù),這樣就可以用兩個未知數(shù)表示,要求出這兩個未知數(shù),就要從題目中找出兩個等量關(guān)系,列出兩個方程,組在一起,就是方程組.
兩個等量關(guān)系是：A做盒身張數(shù)+做盒底的張數(shù)=鐵皮總張數(shù)
B制出的盒身數(shù)×2=制出的盒底數(shù)
用86張白鐵皮做盒身,64張白鐵皮做盒底.
奇數(shù)與偶數(shù)（一）
其實,在日常生活中同學(xué)們就已經(jīng)接觸了很多的奇數(shù)、偶數(shù).
凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù),大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)；凡是不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù),大于零的奇數(shù)又叫單數(shù).
因為偶數(shù)是2的倍數(shù),所以通常用 這個式子來表示偶數(shù)（這里 是整數(shù)）.因為任何奇數(shù)除以2其余數(shù)都是1,所以通常用式子 來表示奇數(shù)（這里 是整數(shù)）.
奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質(zhì),常用的有：
性質(zhì)1 兩個偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù).
例如：8+4=12,8-4=4等.
兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù).
例如：9+3=12,9-3=6等.
奇數(shù)與偶數(shù)的和或差是奇數(shù).
例如：9+4=13,9-4=5等.
單數(shù)個奇數(shù)的和是奇,雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù),幾個偶數(shù)的和仍是偶數(shù).
性質(zhì)2 奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù).
偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù).
性質(zhì)3 任何一個奇數(shù)一定不等于任何一個偶數(shù).
1. 有5張撲克牌,畫面向上.小明每次翻轉(zhuǎn)其中的4張,那么,他能在翻動若干次后,使5張牌的畫面都向下嗎?
同學(xué)們可以試驗一下,只有將一張牌翻動奇數(shù)次,才能使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳?要想使5張牌的畫面都向下,那么每張牌都要翻動奇數(shù)次.
5個奇數(shù)的和是奇數(shù),所以翻動的總張數(shù)為奇數(shù)時才能使5張牌的牌面都向下.而小明每次翻動4張,不管翻多少次,翻動的總張數(shù)都是偶數(shù).
所以無論他翻動多少次,都不能使5張牌畫面都向下.
2. 甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子,乙盒中放有181個白色圍棋子,李平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子,如果兩個棋子同色,他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒；如果兩個棋子不同色,他就把黑子放回甲盒.那么他拿多少后,甲盒中只剩下一個棋子,這個棋子是什么顏色的?
不論李平從甲盒中拿出兩個什么樣的棋子,他總會把一個棋子放入甲盒.所以他每拿一次,甲盒子中的棋子數(shù)就減少一個,所以他拿180+181-1=360次后,甲盒里只剩下一個棋子.
如果他拿出的是兩個黑子,那么甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個.否則甲盒子中的黑子數(shù)不變.也就是說,李平每次從甲盒子拿出的黑子數(shù)都是偶數(shù).由于181是奇數(shù),奇數(shù)減偶數(shù)等于奇數(shù).所以,甲盒中剩下的黑子數(shù)應(yīng)是奇數(shù),而不大于1的奇數(shù)只有1,所以甲盒里剩下的一個棋子應(yīng)該是黑子.
奧賽專題 -- 稱球問題
例1 有4堆外表上一樣的球,每堆4個.已知其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每個重10克,次品球每個重11克,請你用天平只稱一次,把是次品的那堆找出來.
解 ：依次從第一、二、三、四堆球中,各取1、2、3、4個球,這10個球一起放到天平上去稱,總重量比100克多幾克,第幾堆就是次品球.
2 有27個外表上一樣的球,其中只有一個是次品,重量比正品輕,請你用天平只稱三次（不用砝碼）,把次品球找出來.
解 ：第一次：把27個球分為三堆,每堆9個,取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上.若天平不平衡,可找到較輕的一堆；若天平平衡,則剩下來稱的一堆必定較輕,次品必在較輕的一堆中.
第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆,每堆3個球,按上法稱其中兩堆,又可找出次品在其中較輕的那一堆.
第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次,若天平不平衡,則較輕的就是次品,若天平平衡,則剩下一個未稱的就是次品.
例3 把10個外表上一樣的球,其中只有一個是次品,請你用天平只稱三次,把次品找出來.
把10個球分成3個、3個、3個、1個四組,將四組球及其重量分別用A、B、C、D表示.把A、B兩組分別放在天平的兩個盤上去稱,則
（1）若A=B,則A、B中都是正品,再稱B、C.如B=C,顯然D中的那個球是次品；如B＞C,則次品在C中且次品比正品輕,再在C中取出2個球來稱,便可得出結(jié)論.如B＜C,仿照B＞C的情況也可得出結(jié)論.
（2）若A＞B,則C、D中都是正品,再稱B、C,則有B=C,或B＜C（B＞C不可能,為什么?）如B=C,則次品在A中且次品比正品重,再在A中取出2個球來稱,便可得出結(jié)論；如B＜C,仿前也可得出結(jié)論.
（3）若A＜B,類似于A＞B的情況,可分析得出結(jié)論.
奧賽專題 -- 抽屜原理
【例1】一個小組共有13名同學(xué),其中至少有2名同學(xué)同一個月過生日.為什么?
【分析】每年里共有12個月,任何一個人的生日,一定在其中的某一個月.如果把這12個月看成12個“抽屜”,把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”,把13只蘋果放進12個抽屜里,一定有一個抽屜里至少放2個蘋果,也就是說,至少有2名同學(xué)在同一個月過生日.
【例 2】任意4個自然數(shù),其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù).這是為什么?
【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同,那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù).而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù),或者是0,或者是1,或者是2,根據(jù)這三種情況,可以把自然數(shù)分成3類,這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”.我們把4個數(shù)看作“蘋果”,根據(jù)抽屜原理,必定有一個抽屜里至少有2個數(shù).換句話說,4個自然數(shù)分成3類,至少有兩個是同一類.既然是同一類,那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同.所以,任意4個自然數(shù),至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù).
【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi),試問不論如何取,從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）?
【分析與解】試想一下,從箱中取出6只、9只襪子,能配成3雙襪子嗎?回答是否定的.
按5種顏色制作5個抽屜,根據(jù)抽屜原理1,只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只,這2只就可配成一雙.拿走這一雙,尚剩4只,如果再補進2只又成6只,再根據(jù)抽屜原理1,又可配成一雙拿走.如果再補進2只,又可取得第3雙.所以,至少要取6＋2＋2=10只襪子,就一定會配成3雙.
思考：1.能用抽屜原理2,直接得到結(jié)果嗎?
2.把題中的要求改為3雙不同色襪子,至少應(yīng)取出多少只?
3.把題中的要求改為3雙同色襪子,又如何?
【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球,其中白、黃、紅三種顏色球各有10個,另外還有3個藍色球、2個綠色球,試問一次至少取出多少個球,才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球?
【分析與解】從最“不利”的取出情況入手.
最不利的情況是首先取出的5個球中,有3個是藍色球、2個綠色球.
接下來,把白、黃、紅三色看作三個抽屜,由于這三種顏色球相等均超過4個,所以,根據(jù)抽屜原理2,只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個,即至少應(yīng)取出10個球,就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球.
故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個球,才能符合要求.
思考：把題中要求改為4個不同色,或者是兩兩同色,情形又如何?
當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有,至少有幾個”這樣的問題時,想到它——抽屜原理,這是你的一條“決勝”之路.
奧賽專題 -- 還原問題
【例1】某人去銀行取款,第一次取了存款的一半多50元,第二次取了余下的一半多100元.這時他的存折上還剩1250元.他原有存款多少元?
【分析】從上面那個“重新包裝”的事例中,我們應(yīng)受到啟發(fā)：要想還原,就得反過來做（倒推）.由“第二次取余下的一半多100元”可知,“余下的一半少100元”是1250元,從而“余下的一半”是 1250+100=1350（元）
余下的錢（余下一半錢的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”.綜合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
還原問題的一般特點是：已知對某個數(shù)按照一定的順序施行四則運算的結(jié)果,或把一定數(shù)量的物品增加或減少的結(jié)果,要求最初（運算前或增減變化前）的數(shù)量.解還原問題,通常應(yīng)當(dāng)按照與運算或增減變化相反的順序,進行相應(yīng)的逆運算.
【例2】有26塊磚,兄弟2人爭著去挑,弟弟搶在前面,剛擺好磚,哥哥趕來了.哥哥看弟弟挑得太多,就拿來一半給自己.弟弟覺得自己能行,又
從哥哥那里拿來一半.哥哥不讓,弟弟只好給哥哥5塊,這樣哥哥比弟弟多挑2塊.問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊?
【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊.只要解一個“和差問題”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”塊,弟弟挑“26-14=12”塊.
提示：解還原問題所作的相應(yīng)的“逆運算”是指：加法用減法還原,減法用加法還原,乘法用除法還原,除法用乘法還原,并且原來是加（減）幾,還原時應(yīng)為減（加）幾,原來是乘（除）以幾,還原時應(yīng)為除（乘）以幾.
對于一些比較復(fù)雜的還原問題,要學(xué)會列表,借助表格倒推,既能理清數(shù)量關(guān)系,又便于驗算.
奧賽專題 -- 雞兔同籠問題
例1 雞兔同籠,頭共46,足共128,雞兔各幾只?
[分析] ：如果 46只都是兔,一共應(yīng)有 4×46=184只腳,這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔,就要減少4-2=2（只）腳.那么,46只兔里應(yīng)該換進幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒有了呢?顯然,56÷2=28,只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以,雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)是46-28=18.
①雞有多少只?
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只?
46-28=18（只）
答：雞有28只,免有18只.
例2 雞與兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只,問雞與兔各多少只?
[分析]： 這個例題與前面例題是有區(qū)別的,沒有給出它們腳數(shù)的總和,而是給出了它們腳數(shù)的差.這又如何解答呢?
假設(shè)100只全是雞,那么腳的總數(shù)是2×100=200（只）這時兔的腳數(shù)為0,雞腳比兔腳多200只,而實際上雞腳比兔腳多80只.因此,雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只）,這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞,雞的腳數(shù)將增加2只,兔的腳數(shù)減少4只.那么,雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只）,所以換成雞的兔子有120÷6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）.
（2×100-80）÷（2+4）=20（只）.
100-20=80（只）.
答：雞與兔分別有80只和20只.
例3 紅英小學(xué)三年級有3個班共135人,二班比一班多5人,三班比二班少7人,三個班各有多少人?
[分析1] 我們設(shè)想,如果條件中三個班人數(shù)同樣多,那么,要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示,是否可以通過假設(shè)三個班人數(shù)同樣多來分析求解.
結(jié)合下圖可以想,假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同,以一班為標(biāo)準(zhǔn),則二班人數(shù)要比實際人數(shù)少5人.三班人數(shù)要比實際人數(shù)多7-5=2（人）.那么,請你算一算,假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多,三個班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少?
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年級一班、 二班、三班分別有44人、 49人和 42人.
[分析2] 假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多,那么,一班人數(shù)比實際要多5人,而三班要比實際人數(shù)多7人.這時的總?cè)藬?shù)又該是多少?
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人）,49-7=42（人）
答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人.
例4 劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船,共租了10條船.每條大船坐6人,每條小船坐4人,問大船、小船各租幾條?
[分析] 我們分步來考慮：
①假設(shè)租的 10條船都是大船,那么船上應(yīng)該坐 6×10= 60（人）.
②假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實際人數(shù)多了 60-（41+1）=18（人）,多的原因是把小船坐的4人都假設(shè)成坐6人.
③一條小船當(dāng)成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9（條）小船當(dāng)成大船.
[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（條） 10-9=1（條）
答：有9條小船,1條大船.
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只,共有腿118條,翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿,兩對翅膀；蟬6條腿,一對翅膀）,求蜻蜓有多少只?
[分析] 這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點,蜻蜓、蟬都是6條腿,只有蜘蛛8條腿.因此,可先從腿數(shù)入手,求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動物都是6條腿,則總腿數(shù)為 6×18=108（條）,所差 118-108=10（條）,必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以,應(yīng)有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手,假設(shè)13只都是蟬,則總翅膀數(shù)1×13=13（對）,比實際數(shù)少 20-13＝7（對）,這是由于蜻蜓有兩對翅膀,而我們只按一對翅膀計算所差,這樣蜻蜓只數(shù)可求7÷（2-1）=7（只）.
①假設(shè)蜘蛛也是6條腿,三種動物共有多少條腿?
6×18=108（條）
②有蜘蛛多少只?
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蟬共有多少只?
18-5=13（只）
④假設(shè)蜻蜒也是一對翅膀,共有多少對翅膀?1×13=13（對）
⑤蜻蜒多少只?
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.