證明在某組標準正交基下的矩陣為對稱陣就相當(dāng)于證明了在任意一組標準正交基下的矩陣為對稱陣了.
設(shè)T為這個對稱變換,α1 α2 α3 ...αn,β1 β2 β3 ...βn分表為兩組標準正交基,α到β的過渡陣為Q,標準正交基之間的過渡矩陣為正交陣,故Q可逆,且Q'=Q^(-1).
即有：(β1 β2 β3 ...βn)=(α1 α2 α3 ...αn)Q
若T在α1 α2 α3 ...αn下的矩陣為對稱陣,即T(α1 α2 α3 ...αn)=(α1 α2 α3 ...αn)A（A'=A）
則T(β1 β2 β3 ...βn)=(β1 β2 β3 ...βn)B=[T(α1 α2 α3 ...αn)]Q
=(α1 α2 α3 ...αn)AQ=(β1 β2 β3 ...βn)Q^(-1)AQ,即B=Q^(-1)AQ.
因為A'=A,所以B'=[Q^(-1)AQ]'=Q'A'[Q^(-1)]'=Q^(-1)AQ''=Q^(-1)AQ=B.
故B也為對稱陣.由β1 β2 β3 ...βn的任意性,T在任意一組標準正交基下的矩陣為對稱陣.
根據(jù)這一原理,你只需要證明T在某組標準正交基下的矩陣對稱即是證明了T在任意一組標準正交基下對稱.