【概念與規(guī)律】
1．列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x設(shè)未知數(shù)并根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系,找出其中的等量,再用含未知數(shù)的等式表示．
2．一元二次方程的應(yīng)用題的主要類型：
①有關(guān)數(shù)字問題；②有關(guān)面積問題；③有關(guān)增長率問題；④其他問題．
3．列一元二次方程解應(yīng)用題時要注意：
(1)解得的根必須符合實際情況．
(2)列方程尋找等量關(guān)系時要明確兩類等量關(guān)系：一種是明顯的等量關(guān)系,是通過題目中的關(guān)鍵詞語表示出來的；另一種是隱含的等量關(guān)系,是由學(xué)習(xí)過的公式或規(guī)律給出的．
【講解設(shè)計】•重點與難點
例1兩數(shù)之差為2,積為143,求這兩個數(shù)．
分析由于兩數(shù)之差為2,設(shè)其中較小的數(shù)為x,則較大的數(shù)為x＋2,其等量關(guān)系為
較小數(shù)×較大數(shù)＝143．
解設(shè)較小的數(shù)為x,則較大的數(shù)為x＋2,根據(jù)題意,得
x(x＋2)＝143．
答這兩個數(shù)是11和13或－13和－11．
例2有一塊長方形鐵皮,長32cm,寬24cm,在四角截去相同的小正方形,折起來做成一個無蓋的盒子,要使盒底的面積為原來面積的一半,求這個盒子的高度．
分析等量關(guān)系為：盒底面積等于原來面積的一半．
解設(shè)這個盒子的高度為xcm,根據(jù)題意,得(32－2x)(24－2x)＝
解之,得x1＝24,x2＝4．
經(jīng)檢驗x1＝24不合題意,舍去．
∴x＝4(cm)．
答這個盒子的高度為4cm．
例3某農(nóng)場的產(chǎn)量兩年內(nèi)從50萬kg增加到60.5萬kg,平均每年增產(chǎn)百分之幾?
分析若將平均每年增長率看作x(x是個百分?jǐn)?shù)),則第一年的產(chǎn)量為50(1＋x)萬kg,第二年產(chǎn)量是在第一年產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再增產(chǎn),增長率為x,于是,第二年產(chǎn)量為50(1＋x)(1＋x)萬 kg,即50(1＋x)2萬 kg．
解設(shè)平均每年增長率為x,根據(jù)題意,得
50(1＋x)2＝60.5．∴(1＋x)2＝1.21．
解之,得x1＝0.1＝10％,x2＝－2.1(不合題意,舍去)
答：平均每年增產(chǎn)10％．
【講解設(shè)計】•思路與方法
例4一個容器盛滿純藥液20 L,第一次倒出一部分純藥液后,用水加滿,第二次又倒出同樣多的升數(shù),再用水加滿,這時容器內(nèi)剩下的純藥液為5 L,問每次倒出的藥液為多少升?
提示設(shè)每次倒出的藥液是x L,則第一次倒出的是純藥液x L,再
例5已知：甲、乙兩人分別從正方形廣場ABCD的頂點B、C兩點同時出發(fā),甲由C向D運動,乙由B向C運動,甲的速度為1 km／min,乙的速度為2 km／min．若正方形廣場的周長為40 km,問幾分鐘
動到E點,于是,FC＝x,EC＝10－2x,在Rt△EFC中,得x2＋
【練習(xí)設(shè)計】•識記與理解
1．填空題：
(1)兩個數(shù)的和等于5,平方和等于13,則這兩個數(shù)為________；
(2)長方形的長比寬多4 cm,面積為60 cm2,則它的周長為________；
(3)直角三角形兩直角邊的比為3∶4,其斜邊長為10,則兩直角邊的長分別是________；
(4)某農(nóng)場的糧食產(chǎn)量,第一年為a萬kg,若以后平均每年的增長率都是x,則第三年產(chǎn)量為________萬kg,三年總產(chǎn)量為________萬kg(用含x,a的代數(shù)式表示)；
(5)設(shè)C是線段AB的黃金分割點,AB＝1,則AC(AC＜BC)的長為________；
(6)一個兩位數(shù),個位上的數(shù)比十位上的數(shù)小7,且個位上的數(shù)與十位上的數(shù)之和的平方等于這個兩位數(shù),則這兩位數(shù)是________；
(7)某小組同學(xué),新年時每人互送賀年卡一張,已知全組共送賀年卡56張,則這個小組共有________人．
2．某校初三年級學(xué)生進(jìn)行廣播操比賽,如果排成方陣(即正方形)還多6人；如果每排減4人,排數(shù)多6排,但少2人．求學(xué)生的總?cè)藬?shù)．
3．某農(nóng)場計劃修一條斷面為等腰梯形的渠道,斷面面積為1.53 m2,上口寬比渠底寬多1.4 m,渠深比渠底寬少0.1 m．求渠道的上口寬與渠深．
4．有一面積為150 m2的長方形養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻(墻長18 m),另三邊用竹籬笆圍成,如果竹籬笆的長為35 m．求雞場的長與寬各是多少米?
5．某廠第一月產(chǎn)值為500萬元,第一季度產(chǎn)值為1 750萬元．問2,3月份平均每月的增長率是多少(精確到1％)?
6．某校加強預(yù)防近視眼工作后,在兩個學(xué)期內(nèi),有23名學(xué)生的視力由1.0以下恢復(fù)到1.0或1.0以上．該?，F(xiàn)有1.0以下視力的學(xué)生800人,求每個學(xué)期視力在1.0以下的學(xué)生人數(shù)下降的平均百分比．(精確到0.1％)
7．一個容器,盛滿純藥液20 L,倒出一部分后,注滿水；第二次又倒出同樣多的液體,再注滿水,此時,容器內(nèi)的水是這種純藥液的3倍．求第一次倒出的純藥液有多少升?
【練習(xí)設(shè)計】•鞏固與掌握
8．一塊長3 m、寬2 m的鐵皮,要在它上面挖一個面積是2 m2的長方形,且使剩下的部分四周一樣寬,這個孔應(yīng)挖在什么地方?
9．等腰梯形上、下底及高之比為1∶4∶2,它的腰與高之差為1 cm,求梯形面積．
10．某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品,該商店可以自行定價．若每件商品售價為a元,則可賣出(350－10a)件,但物價局限定每件商品加價不能超過進(jìn)價的20％,商店計劃要賺400元,需要賣出多少件商品,每件商品應(yīng)售價多少元?
11．某電廠規(guī)定,本廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度,那么這個月只要繳10元用電費；如果超過A度,則這個月除
(1)該廠某戶居民2月份用電90度,超過了規(guī)定的A度,則超過部分應(yīng)繳電費________元
(2)下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況：
根據(jù)上表,求電廠規(guī)定的A度是多少?
【練習(xí)設(shè)計】•拓展與遷移
12．某商場購進(jìn)一批單價為16元的日用品,銷售一段時間后,為了獲得更多的利潤,商店決定提高銷售價格,經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn),若按每件20元的價格銷售時,每月能賣360件；若按每件25元的價格銷售時,每月能賣210件．若每月銷售件數(shù)y(件)與價格x(元/件)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝kx＋b,
(1)確定k與b的值,并指出x的取值范圍．
(2)為了使每月獲得利潤為1920元,問商品應(yīng)定為每件多少元?
(3)為了獲得最大的利潤,商品應(yīng)定為每件多少元?

答案

1．(1)2和3(2)32cm(3)6和8(4)a(1＋x)2,a＋a(1＋x)＋
2．262
3．2.4m,0.9m
4．15m,10m
5．16%
6．1.5％
7．10L
9．先求上下底和高,S＝20cm2
10．需要賣出100件商品,每件售價應(yīng)為25元
12．(1)y＝－30x＋960(16≤x≤32)(2)x＝24元(3)x＝24元