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  • 已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有極大值8. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值.

    已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有極大值8.
    (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
    (Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值.
    數(shù)學(xué)人氣:331 ℃時(shí)間:2019-08-19 16:04:32
    優(yōu)質(zhì)解答
    (Ⅰ)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=a(x-2)2+2(x-2)ax=3ax2-8ax+4a=3a(x?2)(x?
    2
    3
    )

    因?yàn)閍>0,
    則由f'(x)>0,則x>2或x
    2
    3
    ,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,
    由f'(x)<0,則
    2
    3
    <x<2
    ,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
    即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞)和(-∞,
    2
    3
    ).
    函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
    2
    3
    ,2
    ).
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)x=
    2
    3
    時(shí),函數(shù)取得極大值,
    所以由f(
    2
    3
    )=8得,f(
    2
    3
    )=
    2
    3
    a(
    2
    3
    ?2)
    2
    32a
    27
    =8
    ,
    解得a=
    27
    4
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