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已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有極大值8. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值.
已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ax(x-2)
2
(x∈R)有極大值8.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值.
數(shù)學(xué)
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時(shí)間:2019-08-19 16:04:32
優(yōu)質(zhì)解答
(Ⅰ)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=a(x-2)
2
+2(x-2)ax=3ax
2
-8ax+4a=
3a(x?2)(x?
2
3
)
,
因?yàn)閍>0,
則由f'(x)>0,則x>2或x
<
2
3
,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,
由f'(x)<0,則
2
3
<x<2
,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞)和(-
∞,
2
3
).
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
2
3
,2
).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)x=
2
3
時(shí),函數(shù)取得極大值,
所以由f(
2
3
)=8得,
f(
2
3
)=
2
3
a
(
2
3
?2)
2
=
32a
27
=8
,
解得a=
27
4
.
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