首先考慮m為素數(shù)的情形
若5或11中有一個modm的二次剩余,不妨設(shè)為5
I={r1,r2,...r[(m+1)/2]}為modm的所有二次剩余
由勒讓德符號定義的運算（或二次剩余的歐拉判別法）知,r1為二次剩余時5*r1亦為二次剩余
且5*ri不同余于5*rj,如果ri不等于rj
I1={5r1,5r2,...5r[(m+1)/2]}為modm的所有二次剩余
即5x^可以取I1中任意值
易知1屬于I
則方程5X²≡1（mod m）有解,再取y=0即可
若5或11都不是modm的二次剩余
r1為二次剩余（r1非0）時5*r1和11*r1為二次非剩余
即I2={5r1,5r2,...5r[(m+1)/2]}為modm的所有二次非剩余和{0}的并集
下面應(yīng)用反證法,若原方程無解
則I2/{0}中任意兩元素和不為m+1
考慮下列（m-1）/2個集合
{2,m-1}{3,m-2}{(m-1)/2,(m+3)/2}和{(m+1)/2}
I2/{0}中（m-1）/2個元素皆取自此（m-1）/2個集合
若有一個集合中同時含有兩個I2/{0}中元素
則方程5X²≡i（mod m）11Y²≡m+1-i（mod m）皆有解
原方程亦有解
若任一集合中不同時含有兩個I2/{0}中元素
則(m+1)/2為I2/{0}中元素
方程5X²≡(m+1)/2（mod m）11Y²≡(m+1)/2（mod m）皆有解
原方程亦有解
以上證明了m為質(zhì)數(shù)時方程有解
下面證明m為質(zhì)數(shù)冪時方程有解
m=p^n,對指數(shù)n歸納（不考慮p=2,5,11時情形,這些情形的證明很容易）
n=k時成立,n=k+1時
5X²≡i+t*p^k（mod m）
計x1=x,x2=x+p^n,x3=x+2*p^n.xp=x+(p-1)p^n
以上p個數(shù)代入方程左端modm兩兩不同余,
必有一j使xj滿足5xj^≡i（mod m）
對于11同理,則n=k+1時亦得證
對于一般的m,對m進行質(zhì)因數(shù)分解,
m=p1^a1*p2^n2*...
計m1=p1^a1
m2=...
(xi,yi)為5xi^+11yi^≡1（mod mi）的解
考慮一次同余方程組
x=x1(modm1)
x=x2(modm2)
...(此處=為同余號)
由中國剩余定理
x有解
對y同理
于是（x,y）即為滿足條件的解
初涉數(shù)論,如有漏洞請指出,歡迎切磋探討.這道題真的很難,不知樓主是在哪里看到的?