1.第一個問題:
你可以參考我以前回答的問題:
由條件可知,
[f(1-x)-0]+{f(1+x)-0]=0
兩個點1-X,1+X的橫坐標是以1為中點的
對應的縱坐標F(1-X)和F(1+X)以0為中點
也就是說
點(1-x,f(1-x))和點(1+x,f(1+x))關于點(1,0)對稱,
而x是任取的,所以原函數(shù)本身關于(1,0)對稱
2.第二個問題:f(1+x)=f(1-x)
這可從圖像上很容易看出來.
我們知道對于偶函數(shù)y=g(x)滿足g(x)=g(-x)是關于x=0對稱的,一方面你可以參考教材上對偶函數(shù)如何證明其關于x=0對稱的方法來證明該問題
另外,還可以這么理解:
已知g(x)為偶函數(shù),等價于y=g(x)=g(-x),也等價于g(x)關于x=0對稱
那么,將其沿+x平移1個單位,那么新函數(shù)為:
f(x)=g(x-1)=g(1-x)
另外考慮到
g(x)=g(-x),
將點(x,g(x))向+x平移1個單位為(x,g(x-1))
將點(-x,g(-x))向+x平移1個單位為(-x-1,g(-x-1))
因為是對圖像整體沿X軸平移,故圖像上Y值原先相等的點,在平移后Y值仍然相等,也就是有
g(x-1)=g(-x-1)
而
g(x-1)=g(1-x)
g(-x-1)=g(x+1)
于是
g(x+1)=g(1-x)
也就是說,若圖相像關于x=1對稱,也等價于g(x+1)=g(1-x)
注意上面并不是證明若g(x+1)=g(1-x)則函數(shù)關于X=1對稱的過程,只是幫助你理解這些關系
證明方法:對于任意一點(1-X,F(1-X))和其關于X=1對稱的點(1+X,F(1+X))都滿足,F(1-X)=F(1+X),故整個函數(shù)關于X=1對稱
上面分析可以看出,F(X)關于X=1對稱和F(1-X)=F(1+X)是等價的