對(duì)于分式函數(shù) y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：
由于對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有實(shí)數(shù)解,因此“求f(x)的值域.”這一問題可轉(zhuǎn)化為“已知關(guān)于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有實(shí)數(shù)解,求y的取值范圍.”
把x作為未知量,y看作常量,將原式化成關(guān)于x的一元二次方程形式（＊）,令這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解,然后對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零加以討論：
（1）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí),將對(duì)應(yīng)的y值代入方程（＊）中進(jìn)行檢驗(yàn)以判斷y的這個(gè)取值是否符合x有實(shí)數(shù)解的要求,……
（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),∵x∈R,∴Δ≥0,……
此時(shí)直接用判別式法是否有可能產(chǎn)生增根,關(guān)鍵在于對(duì)這個(gè)方程去分母這一步是不是同解變形.
原問題“求f(x)的值域.”進(jìn)一步的等價(jià)轉(zhuǎn)換是“已知關(guān)于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解使得 dx^2+ex+f≠0,求y的取值范圍.”
【舉例說明】
1、當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R時(shí)
例1 求函數(shù)y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.
由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0,所以函數(shù)的定義域是R.
去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移項(xiàng)整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.（＊）
(1)當(dāng)y≠1時(shí),由△≥0得0≤y≤4;
(2)當(dāng)y=1時(shí),將其代入方程（＊）中得x=0.
綜上所述知原函數(shù)的值域?yàn)椤?,4〕.
2、當(dāng)函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集R時(shí)
例2 求函數(shù)y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.
由分母不為零知,函數(shù)的定義域A={x|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移項(xiàng)整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0.（＊）
(1)當(dāng)y≠1時(shí),由△≥0得y^2≥0�y∈R.
檢驗(yàn)：由△=0得y=0,將y=0代入原方程求得x=1,這與原函數(shù)定義域A相矛盾,
所以y≠0.
(2)當(dāng)y=1時(shí),將其代入方程（＊）中得x=1,這與原函數(shù)定義域A相矛盾,
�
所以y≠1.
綜上所述知原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠0且y≠1}.