因為 xyz=0 ,x^2+y^2+z^2 ≠ 0 ,
所以 x、y、z 中有一個為0,其余兩個不為 0 ,或有一個不為 0 ,其余兩個都為 0 .
1）不妨設(shè) x=0 ,y、z 都不 0 ,則 yOB+zOC=0 向量,
因此 O 在直線 BC 上 ；
2）不妨設(shè) x=y=0 ,z ≠ 0 ,則 zOC=0 向量,
因此 O 與 C 重合.
所以,xyz=0 ========> 點O在三角形ABC的邊所在直線上；
反之,若 O 在三角形ABC的邊所在直線上,不妨設(shè) O 在直線 BC 上,
則由于 OB//OC ,所以存在不全為0的實數(shù) y、z 使 yOB+zOC=0 ,
因此 0OA+yOB+zOC=0 ,
此時 若 xOA+yOB+zOC=0 ,則 x=0 ,且 x、y、z 不全為 0 ,故 xyz=0 .
綜上,xyz=0 是 點O在三角形ABC的邊所在直線上的〈充要〉條件.