三角形的定義
三角形是多邊形中邊數(shù)最少的一種.它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三條線段不在同一條直線上的條件,如果三條線段在同一條直線上,我們認為三角形就不存在.另外三條線段必須首尾順次相接,這說明三角形這個圖形一定是封閉的.三角形中有三條邊,三個角,三個頂點.
三角形中的主要線段
三角形中的主要線段有：三角形的角平分線、中線和高線.
這三條線段必須在理解和掌握它的定義的基礎(chǔ)上,通過作圖加以熟練掌握.并且對這三條線段必須明確三點：
（1）三角形的角平分線、中線、高線均是線段,不是直線,也不是射線.
（2）三角形的角平分線、中線、高線都有三條,角平分線、中線,都在三角形內(nèi)部.而三角形的高線在當(dāng)△ABC是銳角三角形時,三條高都是在三角形內(nèi)部,鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上,這兩條高在三角形的外部,直角三角形中有兩條高恰好是它的兩條直角邊.
（3）在畫三角形的三條角平分線、中線、高時可發(fā)現(xiàn)它們都交于一點.在以后我們可以給出具體證明.今后我們把三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心,三條中線的交點叫做三角形的重心,三條高的交點叫做三角形的垂心.
三角形的按邊分類
三角形的三條邊,有的各不相等,有的有兩條邊相等,有的三條邊都相等.所以三角形按邊的相等關(guān)系分類如下：
等邊三角形是等腰三角形的一種特例.
判定三條邊能否構(gòu)成三角形的依據(jù)
△ABC的三邊長分別是a、b、c,根據(jù)公理“連接兩點的所有線中,線段最短”.可知：
③a+b＞c,①a+c＞b,②b+c＞a
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.
由②、③得 b―a＜c,且b―a＞―c
故|a―b|＜c,同理可得|b―c|＜a,|a―c|＜b.
從而得到推論：
三角形任意兩邊的差小于第三邊.
上述定理和推論實際上是一個問題的兩種敘述方法,定理包含了推論,推論也可以代替定理.另外,定理和推論是判定三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù).如：三條線段的長分別是5、4、3便能構(gòu)成三角形,而三條線段的長度分別是5、3、1,就不能構(gòu)成三角形.
判定三條邊能否構(gòu)成三角形
對于某一條邊來說,如一邊a,只要滿足|b-c|＜a＜b+c,則可構(gòu)成三角形.這是因為|b-c|＜a,即b-c＜a,且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c,再加上b+c＞a,便滿足任意兩邊之和大于第三邊的條件.反過來,只要a、b、c三條線段滿足能構(gòu)成三角形的條件,則一定有|b-c|＜a＜b+c.
在特殊情況下,如果已知線段a最大,只要滿足b+c>a就可判定a、b、c三條線段能夠構(gòu)成三角形.同時如果已知線段a最小,只要滿足|b-c|＜a,就能判定三條線段a、b、c構(gòu)成三角形.
證明三角形的內(nèi)角和定理
除了課本上給出的證明方法外還有多種證法,這里再介紹兩種證法的思路：
方法1如圖,過頂點A作DE‖BC,
運用平行線的性質(zhì),可得∠B＝∠2,
∠C＝∠1,從而證得三角形的內(nèi)角
和等于平角∠DAE.
方法2如圖,在△ABC的邊BC上任取
一點D,過D作DE‖AB,DF‖AC,
分別交AC、AB于E、F,再運用平行
線的性質(zhì)可證得△ABC的內(nèi)角和等于
平角∠BDC.
三角形按角分類
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知,三角形的任一個內(nèi)角都小于180°,其內(nèi)角可能都是銳角,也可能有一個直角或一個鈍角.
三角形按角可分類如下：
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可有如下推論：
推論1 直角三角形的兩個銳角互余.
推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.
同時我們還很容易得到如下幾條結(jié)論：
（1）一個三角形最多有一個直角或鈍角.
（2）一個三角形至少有兩個內(nèi)角是銳角.
（3）一個三角形至少有一個角等于或小于60°（否則,若三個內(nèi)角都大于60°；則這個三角形的內(nèi)角和大于180°,這與定理矛盾）.
(4) 三角形有六個外角,其中兩兩是對頂角相等,所以三角形的三個外角和等于360°.
全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的兩個基本性質(zhì)
（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等.
（2）全等三角形的對應(yīng)角相等.
確定兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角
怎樣根據(jù)已知條件準確迅速地找出兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角?其方法主要可歸結(jié)為：
（1）若兩個角相等,這兩個角就是對應(yīng)角,對應(yīng)角的對邊是對應(yīng)邊.
（2）若兩條邊相等,這兩條邊就是對應(yīng)邊,對應(yīng)邊的對角是對應(yīng)角.
（3）兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.
（4）兩個對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.
由全等三角形的定義判定三角形全等
由全等三角形的定義知,要判定兩個三角形全等,需要知道三條邊,三個角對應(yīng)相等,但在應(yīng)用中,利用定義判定兩個三角形全等卻是十分麻煩的,因而需要找到能完全確定一個三角形的條件,以便用較少的條件,簡便的方法來判定兩個三角形的全等.
判定兩個三角形全等的邊、角、邊公理
內(nèi)容：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（即SAS）.
這個判定方法是以公理形式給出的,我們可以通過實踐操作去驗證它,但驗證不等于證明,這點要區(qū)分開來.
公理中的題設(shè)條件是三個元素：邊、角、邊,意指兩條邊和這兩條邊所夾的角對應(yīng)相等.不能理解成兩邊和其中一個角相等.否則,這兩個三角形就不一定全等.
例如 在△ABC和△A′B′C′中,
如右圖,AB=A′B′,∠A=∠A′,
BC=A′C′,但是△ABC不全等于
△A′B′C′.
又如,右圖,在△ABC和△A′B′C′中,AB＝A′B′,∠B=∠B′,AC＝A′C′,但△ABC和△A′B′C′不全等.
原因就在于兩邊和一角對應(yīng)相等不是
公理中所要求的兩邊和這兩條邊的夾
角對應(yīng)相等的條件.
說明：從以上兩例可以看出,SAS≠SSA.
判定兩個三角形全等的第二個公理
內(nèi)容：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（即ASA）.
這個公理也應(yīng)該通過畫圖和實驗去進一步理解它.
公理強調(diào)了兩角和這兩角的夾邊對應(yīng)相等,這里實質(zhì)上包含了一個順序關(guān)系.千萬不能理解成為在其中一個三角形中是兩角和其夾邊,而在另一個三角形中卻是兩角和其中一角的對邊.
如右圖,在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB＝A′C′,
但這兩個三角形顯然不全等.原因就是
沒有注意公理中“對應(yīng)”二字.
公理一中的邊、角、邊,其順序是不能改變的,即SAS不能改為SSA或ASS.而ASA
公理卻能改變其順序,可改變?yōu)锳AS或SAA,但兩個三角形之間的“對應(yīng)”二字不能變.同時這個公理反映出有兩個角對應(yīng)相等,實質(zhì)上是在兩個三角形中有三個角對應(yīng)相等,故在應(yīng)用過程中只須注意有一條對應(yīng)邊相等就行了.
由公理二可知,有一個銳角與一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等
判定兩個三角形全等的邊、邊、邊公理
公理：三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（即邊、邊、邊公理）.
邊、邊、邊公理在判定兩個三角形全等時,其對應(yīng)邊就是相等的兩條邊.
這個公理告訴我們,只要一個三角形的三邊長度確定了,則這個三角形的形狀就完全確定了.這就是三角形的穩(wěn)定性.
判定兩個三角形全等
通過以上三個公理的學(xué)習(xí),可以知道,在判定兩個三角形全等時,無需根據(jù)定義去判定兩個三角形的三角和三邊對應(yīng)相等,而只需要其中三對條件.
三個角和三條邊這六個條件中任取三個條件進行組合.無非有如下情況：
（1）三邊對應(yīng)相等.
（2）兩邊和一角對應(yīng)相等.
（3）一邊和兩角對應(yīng)相等.
（4）三角對應(yīng)相等.
HL公理
我們知道,滿足邊、邊、角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.
但是,對于兩個直角三角形來說,這個結(jié)論卻一定成立.
斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫為HL）.
這個公理的題設(shè)實質(zhì)上也是三個元素對應(yīng)相等,其本身包含了一個直角相等.這種邊、 邊、角對應(yīng)相等的兩個三角形全等成立的核心是有一個角是直角的條件.由于直角三角形是一種特殊的三角形,所以過去學(xué)過的四種判定方法對于直角三角形照常適用.
角平分線的性質(zhì)定理和逆定理
性質(zhì)定理：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.
點在角平分線上點到這個角的兩邊距離相等.
用符號語言表示角平分線的性質(zhì)定理和逆定理
性質(zhì)定理：
∵P在∠AOB的平分線上
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD＝PE
逆定理：
∵PD＝PE,PD⊥OA,PE⊥OB
∴點P在∠AOB的平分線上.
角平分線定義
如果一條射線把一個角分成兩個相等的角,那么這條射線叫做這個角的平分線.
角的平分線是到角兩邊距離相等的所有點的集合.
三角形角平分線性質(zhì)
三角形三條平分線交于一點,并且交點到三邊距離相等.
互逆命題
在兩個命題中,如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題,如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題.
原命題和逆命題的真假性
每個命題都有逆命題,但原命題是真命題,而它的逆命題不一定是真命題,原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真.
互逆定理
如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個定理,這兩個定理叫做互逆定理,其中一個叫做另一個的逆定理.
每個命題都有逆命題,但不是所有的定理都有逆定理
尺規(guī)作圖
限定用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)的作圖方法叫尺規(guī)作圖.
基本作圖
最基本最常見的尺規(guī)作圖稱之為基本作圖,主要有以下幾種：
（1）作一個角等于已知角；
（2）平分已知角；
（3）過一點作已知直線的垂線；
（4）作已知線段的垂直平分線；
（5）過直線外一點作已知直線的平行線.
有關(guān)概念
有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形.
三邊都相等的三角形稱為等邊三角形,又稱為正三角形.
有一個直角的等腰三角形稱為等腰直角三角形.
等邊三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例.
等腰三角形的有關(guān)概念
等腰三角形中,相等的兩邊稱為腰,另一邊稱為底邊,兩腰的夾角稱為頂角,底邊上的兩個角稱為底角.
等腰三角形的主要性質(zhì)
兩底角相等.
如圖,ΔABC中AB＝AC,取BC中點D,連結(jié)AD,
容易證明：ΔABD≌ΔACD,∴∠B＝∠C.
如圖,ΔABC中為等邊三角形,
那么,由AB＝AC,得∠B＝∠C,
由CA＝CB,得∠A＝∠B,
于是∠A＝∠B＝∠C,但∠A＋∠B＋∠C＝180°,
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
如圖,ΔABC中AB＝AC,且AD平分∠BAC,
那么由ΔABD≌ΔACD,
可得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC,
但∠ADB＋∠ADC＝180°,
∴∠ADB＝90°,從而AD⊥BC,
由此又可得到另外兩個重要推論.
兩個重要推論
等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊；
等邊三角形各內(nèi)角相等,且都等于60°.
等腰三角形性質(zhì)及其推論的另一種論述方法
三角形中,相等的邊所對的角相等.
等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一.
等腰三角形的判定定理及其兩個推論的核心都可概括為等角對等邊.它們都是證明兩條線段相等的重要方法.
推論3
在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
容易證明：這個推論的逆命題也是正確的.即：在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的角等于30°.
運用
利用等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理容易證明結(jié)論：“在一個三角形內(nèi),如果兩條邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角也較大；反過來,在一個三角形中,如果兩個角不等,那么它們所對的邊也不等,大角所對的邊較大.”
對稱軸及中心
線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分.
線段的中點就是它的中心,今后要學(xué)習(xí)“線段是關(guān)于中點對稱的中心圖形”.
線段是以它的中垂線為對稱軸的圖形.
三線合一的定理的逆定理
如圖所示,線段中垂線的性質(zhì)定理的幾何語言為：
,
于是可以用來判定等腰三角形,其定理實質(zhì)上是
三線合一定理的逆定理.
“距離”不同,“心”也不同
“線段垂直平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“兩點間的距離”,而角平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“點到直線的距離”.
三角形三條角平分線相交于一點,這點到三邊的距離相等(這點稱為三角形的內(nèi)心).
三角形三邊的垂直平分線相交于一點,這點到三個頂點的距離相等(這點稱為三角形的外心).
重要的軌跡
圖(A）所示.到角的兩邊OA、OB的距
離相等的點P1、P2,P3…組成一條射
線OP,即點的集合.
如圖(B)所示,到線段AB的兩端點的距離
相等的所有點P1、P2、P3…組成一條直
線P1P2,因此這條直線可以看成動點形
成的“軌跡”.
第十三節(jié)軸線稱和軸對稱圖形
軸對稱
把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么這兩個圖形叫做關(guān)于這條直線對稱,也稱軸對稱.
根據(jù)定義,兩個圖形和如果關(guān)于直線l軸對稱,則：
（1）和這兩個圖形的大小及形狀完全相同.
（2）把其中一個圖形沿l翻折后,和應(yīng)完全重合,自然兩個圖形中的有關(guān)對應(yīng)點也應(yīng)重合.
事實上,直線l是兩個軸對稱圖形中對應(yīng)點連線的垂直平分線.所以容易得到如下性質(zhì)：
性質(zhì)1 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.
性質(zhì)2 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線.
性質(zhì)3 兩個圖形關(guān)于某直線對稱,如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交,那么交點必在對稱軸上.
不難看出,如果兩個圖形的對應(yīng)點的連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.
軸對稱圖形
如果一個圖形沿著一條直線翻折,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.
軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別
①軸對稱是指兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,而軸對稱圖形是一個圖形關(guān)于某條直線對稱.
②軸對稱的對應(yīng)點分別在兩個圖形上,而軸對稱圖形中的對應(yīng)點都在這一個圖形上.
③軸對稱中的對稱軸可能在兩個圖形的外邊,而軸對稱圖形中的對稱軸一定過這個圖形.
聯(lián)系
①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合.
②如果把軸對稱的兩個圖形看成是一個整體,那么這個整體反映出的圖形便是一個
軸對稱圖形；反過來,如果把一個軸對稱圖形中關(guān)于對稱軸的兩邊部分看成是兩個
圖形,那么這兩部分對應(yīng)的兩個圖形則關(guān)于這條對稱軸而成軸對稱.
第十四節(jié) 勾股定理
直角三角形
直角三角形中,兩銳角互余,夾直角的兩邊叫直角邊,直角的對邊叫斜邊,斜邊最長.
等腰直角三角形
等腰直角三角形是直角三角形中的特例.也是等腰三角形中的特例.等腰直角三角形的兩個底角都等于45°,頂角等于90°,相等的兩條直角邊是腰.
勾股定理
直角三角形中,兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即,這就是勾股定理.
判定直角三角形
如果ΔABC的三邊長為a、b、c,且滿足,那么ΔABC是直角三角形,其中∠C＝90°.
第十五節(jié)勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.即：在△ABC中,若a2＋b2＝c2,則△ABC為Rt△.
如何判定一個三角形是否是直角三角形
首先求出最大邊（如c）.
驗證c2與a2＋b2是否具有相等關(guān)系.
若c2＝a2＋b2,則△ABC是以∠C＝90°的直角三角形.若c2≠a2＋b2,則△ABC不是直角三角形.

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專題1： 一題多問、一題多圖和多題一解

提高分析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的,而認真的設(shè)計課本中例題、習(xí)題的變式,挖掘其潛能也是方法之一.課本中的例題、習(xí)題為中考命題提供了豐富的源泉,它們具有豐富的內(nèi)涵,在由知識轉(zhuǎn)化為能力上具有示范性和啟發(fā)性,在解題思路和方法上具有典型性和代表性.如果我們不以得到解答為滿足,而是在解完之后,深入其中作進一步的挖掘和多方位探索,不僅可得到一系列的新命題,也可從“題?！敝薪饷摮鰜?達到事半功倍的效果.而且通過不同角度、不同方位去思考問題,探索不同的解答方案,從而拓寬了思路,培養(yǎng)了思維的靈活性和應(yīng)變能力.
專題2： 利用擴、剖、串、改提高解題能力
學(xué)習(xí)幾何時,感到例題好學(xué)易懂,但對稍加變化拓寬引申的問題束手無策,原因是把例題的學(xué)習(xí)看成是孤立的學(xué)一道題,學(xué)完就了事,致使解題時缺乏應(yīng)變能力,但如果平時能重視對題目的擴充、剖解、串聯(lián)和改編,就能較好地解決這一問題.
1．?dāng)U充：將原題條件拓展,使結(jié)論更加豐富充分.
2．剖分析原題,將較復(fù)雜的圖形肢解為若干個基本圖形,使問題化隱為顯.
3．串聯(lián)：由例題的形式（條件、結(jié)論等）,聯(lián)想與它相似、相近、相反的問題.
4．改編：改變原題的條件形式,探索結(jié)論是否成立?
專題3： 分析、綜合、輔助線
我們研究不等式的有關(guān)問題時,會發(fā)現(xiàn)很多巧妙的方法,還會不斷學(xué)習(xí)掌握類比的數(shù)學(xué)思想,形數(shù)結(jié)合的思想,從未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想,通過研究這些不斷變化的問題,全面把握不等式及不等式組的解法,從而提高我們分析問題、解決問題的能力.
專題4： 不等式的若干應(yīng)用
在平面幾何里,證題思路主要有：（1）分析法,即從結(jié)論入手,逐步逆推,直至達到已知事實后為止.（2）綜合法,先從已知條件入手,運用已學(xué)過的公式、定理、性質(zhì)等推出證明的結(jié)論.（3）兩頭湊,就是將綜合法和分析法有機地結(jié)合起來思考：一方面“從已知推可知”,從已知看可以推出哪些結(jié)論；另一方面“由未知看需知”,從所求結(jié)論逆推看需要什么條件,一旦可知與需知溝通,證題思路即有了.添加輔助線是證明幾何題的重要手段,也是學(xué)習(xí)中的難點之一.
專題5： 幾何證題的基本方法有兩種：
一種是從條件出發(fā),通過一系列已確立的命題逐步向前推演,直到達到證題目的,簡言之,這是由因?qū)Ч姆椒?我們稱之為直接證法或綜合法,綜合法證題的程序如下：欲證AB,由于AC,CD,…,x,而xB,故AB.
另一種則反過來,先假定命題的結(jié)論成立,考慮達到目的需具備什么條件,通過一系列的逆推直到回朔到已知條件為止.簡言之,這是執(zhí)果索因的方法,我們稱之為分析法,分析法證題的程序如下：欲證“AB”,也就是BA,若能分析出BC,CD,…,x,而xA,則斷言BA,也就是AB.
在實際操作上,往往把這兩種方法結(jié)合起來,先分析探求鋪路,再綜合解題成功,簡言之就是“倒著推,順著走”.
—平移、旋轉(zhuǎn)、對稱
在幾何證題中,常需要將一個圖形進行適當(dāng)?shù)淖儞Q,常見的幾何變換有全等變換,等積變換和相似變換.
本章只講全等變換,也就是不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形位置的變換.
常見的全等變換的形式有三：
1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個圖形平行移動到某一適當(dāng)位置,作出輔助圖形,使問題得
到解決.平移的基本特點是：任一線段在平移過
程中,其長度保持不變.
2．旋轉(zhuǎn)：將平面圖形繞平面內(nèi)一定點M旋轉(zhuǎn)一個定角α得到與原來形狀和大小相同的圖形,這樣
的變換叫做旋轉(zhuǎn)變換,M叫旋轉(zhuǎn)中心,α角叫旋
轉(zhuǎn)角.
旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)：（1）變換后的圖形與原圖形全等；（2）原圖中任一線段與旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段所成的角等于旋轉(zhuǎn)角.
3．對稱：將一個圖形（或它的一部分）繞著一條直線翻轉(zhuǎn)180°,得一個與原來形狀、大小完全相同的圖形,這種變換稱為軸對稱變換,軸對稱變換的主要特點是：對稱軸是一切翻轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點連線的垂直平分線.
除軸對稱外,還有中心對稱,這一點我們將在下一章四邊形中講到.
方法總結(jié)：
復(fù)雜的圖形都是由較簡單的基本圖形組成,故可將復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形這樣使問題顯而易見.
當(dāng)直接證題有困難時,常通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形以達到解題的目的.
綜合法是從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法.
分析法是從結(jié)論出發(fā),用倒推來尋找證明思路的方法.
兩頭“湊”的方法,也就是綜合運用以上兩種方法才能找到證明思路.（又叫分析――綜合法）.
轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、分解為簡單的問題；或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想.
不錯吧
賞分給我嗎