由S₁=a+b=1,ab=-1,得 S₂=a²+b²=(a+b)²-2ab=3
S³=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=4 (個(gè)人以為S³應(yīng)該是S₃)
由觀察,可得 Sn=aⁿ+bⁿ
S₄=a⁴+b⁴=(a²+b²)²-2(ab)²=7
S5=a^5+b^5=(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)=8-ab(a²+b²)=11
n為整數(shù)且n≥3時(shí),Sn-S(n-1)=Sn-(a+b)S(n-1)[因?yàn)閍+b=1]
=aⁿ+bⁿ-[a^(n-1)+b^(n-1)](a+b)
=-a^(n-1)b-ab^(n-1)=-ab[a^(n-2)+b^(n-2)]
=a^(n-2)+b^(n-2)[因?yàn)閍b=-1]=S(n-2)
故 Sn=S(n-1)+S(n-2)(n為整數(shù)且n≥3時(shí))