反證法.
設(shè)存在實數(shù)x0 使 f[f(x0)]=g[g(x0)] ,
則 g{f[f(x0)]}=g{g[g(x0)]} ,
由已知,上式左端=f{g[f(x0)]}=f{f[g(x0)]},
令 y0=g(x0) ,則 f[f(y0)]=g[g(y0)] ,也就是說,如果x0是方程 f[f(x)]=g[g(x)]的根,則y0=g(x0)也是其根.
同理,由 f[f(x0)]=g[g(x0)] ,則 f{f[f(x0)]}=f{g[g(x0)]}=g{f[g(x0)]}=g{g[f(x0)]} ,
令 z0=f(x0) ,則 f[f(z0)]=g[g(z0)] ,就是說,如果x0是方程 f[f(x)]=g[g(x)]的根,則z0=f(x0)也是其根.
這說明,若方程f[f(x)]=g[g(x)]有根x0,則 f(x0)=g(x0),這與f(x)=g(x)無實數(shù)解矛盾.
因此,若方程 f(x)=g(x)無實數(shù)解,則方程 f[f(x)]=g[g(x)] 也無實數(shù)解.