這個(gè)問題屬于初等函數(shù)范疇,需要具備函數(shù)極限、微積分 方面的知識(shí)基礎(chǔ).瀏覽了樓主的回答列表,我認(rèn)為樓主的知識(shí)基礎(chǔ)已經(jīng)具備.
設(shè)函數(shù) f(x) = (1 + 1/x)^x
首先證明當(dāng) x 趨向正無窮大時(shí),該函數(shù)有極限.其次求該極限.
取x為整數(shù)n的情況,利用二項(xiàng)式定理
f(n) = (1+1/n)^n
=（k從0到n的求和）∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!*n^k)
=(k從0到n的求和)∑(1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]
同理寫出f(n+1)的展開式,容易看出 f(n+1) > f(n)
因此 f(n)是單調(diào)遞增函數(shù)
同時(shí)從f(n)的展開表達(dá)式還可以得到
f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2!+ 1/3!+ …… + 1/n!
再利用 n!> 2^(n-1) ,...（此定理的證明從略）
f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)
= 3 - 1/2^(n-1) < 3
綜上所述,f(n)隨n單調(diào)遞增,同時(shí)有界.因此 f(n)有極限.
之后利用初等函數(shù)中的夾擠定理,又可以進(jìn)一步證明 f(x) 與f(n)類似.于是定義 x趨于正無窮大時(shí),f(x)極限值為 e.
通過對(duì) x取一個(gè)很大的數(shù),可以計(jì)算出 e.x取得越大,e值越精確.
e≈2.7182818284……
e 值是這樣定義出的.進(jìn)一步研究又表明e值有一些有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì).
例如對(duì)于以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù) f(x)=loga(x)求微分,
其結(jié)果為 f'(x)= [loga(e)]/x
這個(gè)結(jié)果的簡(jiǎn)單證明過程：
f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx .其中 Δx 趨向0.
代入 f(x)及 f(x+Δx)表達(dá)式后,
f'(x)= （1/x) * lim loga(1+Δx/x)^(Δx/x)
f'(x) = (1/x) * lim loga(1 +1/z)^z ,其中z趨向正無窮大
所以
f'(x)=(1/x)* loga(e)
然后在利用這個(gè)結(jié)果以及反函數(shù)的微分,可以證明 指數(shù)函數(shù)的微分 為
f(x) = a^x
f'(x) = loge(a) * a^x
因此定義 loge(a) = ln a
自此出現(xiàn)了自然對(duì)數(shù).
另外從 (a^x)' = lna * a^x 可以推出 e^x 的導(dǎo)數(shù)恰好是其自身.