自然對(duì)數(shù)的底e,一般認(rèn)為是歐拉（Leonhard Euler,1707-1783,瑞士）在研究微積分的時(shí)候發(fā)現(xiàn)的.e=lim（1+1/x）^x,當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)的極值.在計(jì)算中,一般取 e=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!).,越多項(xiàng)越準(zhǔn)確.
與上次提到的圓周率相比,e對(duì)于人類的重要性并不像π那樣顯而易見(jiàn).但是e又是無(wú)處不在的.
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古人對(duì)e的認(rèn)識(shí)
公元前1700年左右,古巴比倫人就曾提出一個(gè)問(wèn)題：
如果以20%的年利息貸款給別人,那么一年后你有多少錢?
這道題無(wú)非是一個(gè)簡(jiǎn)單的公式：1x(1+0.2)^1=1.2
如果每半年復(fù)利一次,則第一年的本利和為1x(1+0.2/2)^2=1.21
如果每季度復(fù)利一次,則為1x(1+0.2/4)^4=1.21550625
如果每月復(fù)利一次,則為1.2193910849
每天復(fù)利一次,則為1.221335858
如果每時(shí)、每分、每秒復(fù)利,第一年的本利和分別為1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574.
從上面的計(jì)算可以看出,年率一定,分期復(fù)利,期數(shù)增加,本利和緩慢增大；但無(wú)論期數(shù)怎么增加,本利和并不會(huì)無(wú)限制地增大,而是有一個(gè)“封頂”,永遠(yuǎn)超過(guò)不了.這個(gè)封頂就是時(shí)時(shí)刻刻都在復(fù)利時(shí)第一年的本利和,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)將就是期數(shù)趨向無(wú)窮大時(shí)第一年本利和的極限.稍懂點(diǎn)微積分就能算出這個(gè)極限等于
e^0.2=1.2214027581
巴比倫人不知道這個(gè)連續(xù)復(fù)利的問(wèn)題,很顯然,在古代討論這么大的小數(shù)是令人痛苦的.
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伯努利家族對(duì)e的貢獻(xiàn)
在1683年,瑞士著名數(shù)學(xué)家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705）在研究連續(xù)復(fù)利時(shí),才意識(shí)到問(wèn)題須以極限方式來(lái)解決.但是他只提出了一個(gè)式子,覺(jué)得這個(gè)數(shù)應(yīng)該在2和3之間,并未得到完整的數(shù)據(jù).因?yàn)槟菚r(shí)候,還沒(méi)有極限的概念.
順便說(shuō)一句,伯努利家族3代人出了8位天才科學(xué)家.這位雅各·伯努利醉心于賭博游戲中的輸贏次數(shù),并寫出巨著《猜度術(shù)》.他還解決了懸鏈線問(wèn)題（1690 年）,曲率半徑公式（1694年）,“伯努利雙紐線”（1694年）,“伯努利微分方程”（1695年）,“等周問(wèn)題”（1700年）等.另外,他非常鐘愛(ài)對(duì)數(shù)螺旋線,最為人們津津樂(lè)道的軼事之一,是雅各布醉心于研究對(duì)數(shù)螺線,這項(xiàng)研究從1691年就開(kāi)始了.他發(fā)現(xiàn),對(duì)數(shù)螺線經(jīng)過(guò)各種變換后仍然是對(duì)數(shù)螺線,如它的漸屈線和漸伸線是對(duì)數(shù)螺線,自極點(diǎn)至切線的垂足的軌跡,以極點(diǎn)為發(fā)光點(diǎn)經(jīng)對(duì)數(shù)螺線反射后得到的反射線,以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對(duì)數(shù)螺線.他驚嘆這種曲線的神奇,竟在遺囑里要求后人將對(duì)數(shù)螺線刻在自己的墓碑上,并附以頌詞“縱然變化,依然故我”,用以象征死后永生不朽.
還有個(gè)約翰· 伯努利,他除了解決懸鏈線問(wèn)題（1691年）,提出洛必達(dá)法則（1694年）、最速降線（1696年）和測(cè)地線問(wèn)題（1697年）,給出求積分的變量替換法（1699年）,研究弦振動(dòng)問(wèn)題（1727年）,出版《積分學(xué)教程》（1742年）等工作外,還有個(gè)對(duì)人類數(shù)學(xué)界最大的功勞,那就是：
培養(yǎng)了一位好學(xué)生——?dú)W拉.
學(xué)物理學(xué)的同學(xué)也聽(tīng)說(shuō)過(guò)另一位伯努利：丹尼爾· 伯努利,他是上面一位約翰的兒子.此人對(duì)流體動(dòng)力學(xué)的貢獻(xiàn)極大.并研究彈性弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題(1741～1743年),提出聲音在空氣中的傳播規(guī)律 (1762年).他的論著還涉及天文學(xué)(1734年)、地球引力 (1728年)、湖汐(1740年)、磁學(xué)(1743、1746年),振動(dòng)理論(1747年)、船體航行的穩(wěn)定(1753、1757年)和生理學(xué) (1721、1728年)等.
扯遠(yuǎn)了,我們還是回到自然對(duì)數(shù)上來(lái).
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天才歐拉的誕生
現(xiàn)在,該輪到歐拉出場(chǎng)了.之前,我們先用些篇幅介紹這位歐拉先生.
歐拉的一生,稱得上傳奇.他不到十歲就開(kāi)始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》,要知道那時(shí)候很多歐洲的騎士還是大字不識(shí)呢.他在大學(xué)時(shí)得到約翰· 伯努利的提攜,之后丹尼爾·伯努利又將他推薦到俄國(guó)彼得堡科學(xué)院.可以說(shuō),伯努利家族是歐拉的貴人.
歐拉可以用3天的時(shí)間計(jì)算出彗星軌道.
1771年彼得堡遭受大火災(zāi),歐拉的書房毀于一旦.但是已經(jīng)失明的他居然憑借記憶,用一年的時(shí)間重寫出大部分論文.
歐拉寫下886本書籍和論文,他死后彼得堡科學(xué)院花了47年才整理完畢.
歐拉可以背誦前100個(gè)質(zhì)數(shù)的前10次冪.
歐拉創(chuàng)立了許多新的符號(hào)：課本上常見(jiàn)的如π（1736年）,i（1777年）,e（1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年）等
幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有歐拉的名字：從初等幾何的歐拉線,多面體的歐拉定理,立體解析幾何的歐拉變換公式,四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù),微分方程的歐拉方程,級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù),變分學(xué)的歐拉方程,復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等,數(shù)也數(shù)不清.他對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨(dú)具匠心,《無(wú)窮小分析引論》一書便是他劃時(shí)代的代表作.歌德巴赫猜想也是在他與歌德巴赫的通信中提出來(lái)的.歐拉還首先完成了月球繞地球運(yùn)動(dòng)的精確理論,創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科,深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計(jì)計(jì)算理論.歐拉最先把對(duì)數(shù)定義為乘方的逆運(yùn)算,并且最先發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)是無(wú)窮多值的.他證明了任一非零實(shí)數(shù)R有無(wú)窮多個(gè)對(duì)數(shù).歐拉使三角學(xué)成為一門系統(tǒng)的科學(xué),他首先用比值來(lái)給出三角函數(shù)的定義,而在他以前是一直以線段的長(zhǎng)作為定義的.歐拉的定義使三角學(xué)跳出只研究三角表這個(gè)圈子.歐拉對(duì)整個(gè)三角學(xué)作了分析性的研究.在這以前,每個(gè)公式僅從圖中推出,大部分以敘述表達(dá).歐拉卻從最初幾個(gè)公式解析地推導(dǎo)出了全部三角公式,還獲得了許多新的公式.歐拉用a 、b 、c 表示三角形的三條邊,用A、B、C表示第個(gè)邊所對(duì)的角,從而使敘述大大地簡(jiǎn)化.歐拉得到的著名的公式,又把三角函數(shù)與指數(shù)函聯(lián)結(jié)起來(lái).
以上一長(zhǎng)段,各位不想看就不看吧,這些在各位的高中數(shù)學(xué)中都學(xué)過(guò).
在老師的指導(dǎo)下,歐拉很快提出了用無(wú)窮階乘的倒數(shù)和來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底的公式.有了公式,就容易很多.據(jù)說(shuō)他靠手算就算到了小數(shù)點(diǎn)之后23位.考慮到這位牛人記憶力超群,這樣的事情似乎也很正常.
自然對(duì)數(shù)的出現(xiàn),不但使懸鏈方程迎刃而解,而且對(duì)于當(dāng)時(shí)很熱門的天文學(xué)——西方的星象學(xué)——也具有重要意義.對(duì)數(shù)使得復(fù)雜的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的加法,只要查閱對(duì)數(shù)表就可以了.同時(shí),對(duì)數(shù)尺也應(yīng)運(yùn)而生.當(dāng)然在計(jì)算器普及的今天,已經(jīng)很少有人用這種東西了.
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C版本
#include
int main()
{
double A(double );
double e=1.0,f;
double n=1.0;
while(1)
{
f=1.0/A(n);
if(f>0.0000001)
{
n++;
e=e+f;
}
else
break;
}
printf("%0.16f\n",e);
return 0;
}
double A(double a)
{
double b=1,c=a;
for(;b
return a;
}
TC++ 3.0下通過(guò)