在一個流體系統(tǒng),比如氣流、水流中,流速越快,流體產(chǎn)生的壓力就越小,這就是被稱為“流體力學(xué)之父”的丹尼爾·伯努利1738年發(fā)現(xiàn)的“伯努利定律”.這個壓力產(chǎn)生的力量是巨大的,空氣能夠托起沉重的飛機,就是利用了伯努利定律.飛機機翼的上表面是流暢的曲面,下表面則是平面.這樣,機翼上表面的氣流速度就大于下表面的氣流速度,所以機翼下方氣流產(chǎn)生的壓力就大于上方氣流的壓力,飛機就被這巨大的壓力差“托住”了.當(dāng)然了,這個壓力到底有多大,一個高深的流體力學(xué)公式“伯努利方程”會去計算它.
伯努利開辟并命名了流體動力學(xué)這一學(xué)科,區(qū)分了流體靜力學(xué)與動力學(xué)的不同概念.1738年,他發(fā)表了十年寒窗寫成的《流體動力學(xué)》一書.他用流體的壓強、密度和流速等作為描寫流體運動的基本概念,引入了“勢函數(shù)”“勢能”（“位勢提高”）來代替單純用“活力’討論,從而表述了關(guān)于理想流體穩(wěn)定流動的伯努利方程,這實質(zhì)上是機械能守恒定律的另一形式.他還用分子與器壁的碰撞來解釋氣體壓強,并指出,只要溫度不變,氣體的壓強總與密度成正,與體積成反比,用此解釋了玻意耳定律.
伯努利方程
設(shè)在右圖的細管中有理想流體在做定常流動,且流動方向從左向右,我們在管的a1處和a2處用橫截面截出一段流體,即a1處和a2處之間的流體,作為研究對象.設(shè)a1處的橫截面積為S1,流速為V1,高度為h1;a2處的橫截面積為S2,流速為V2,高度為h2.
思考下列問題:
①a1處左邊的流體對研究對象的壓力F1的大小及方向如何
②a2處右邊的液體對研究對象的壓力F2的大小及方向如何
③設(shè)經(jīng)過一段時間Δt后(Δt很小),這段流體的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,兩端移動的距離分別為ΔL1和ΔL2,則左端流入的流體體積和右端流出的液體體積各為多大 它們之間有什么關(guān)系 為什么
④求左右兩端的力對所選研究對象做的功
⑤研究對象機械能是否發(fā)生變化 為什么
⑥液體在流動過程中,外力要對它做功,結(jié)合功能關(guān)系,外力所做的功與流體的機械能變化間有什么關(guān)系
如圖所示,經(jīng)過很短的時間Δt,這段流體的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,兩端移動的距離為ΔL1和ΔL2,左端流入的流體體積為ΔV1=S1ΔL1,右端流出的體積為ΔV2=S2ΔL2.
因為理想流體是不可壓縮的,所以有
ΔV1=ΔV2=ΔV
作用于左端的力F1=p1S2對流體做的功為
W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV
作用于右端的力F2=p2S2,它對流體做負(fù)功(因為右邊對這段流體的作用力向左,而這段流體的位移向右),所做的功為
W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV
兩側(cè)外力對所選研究液體所做的總功為
W=W1+W2=(p1-p2)ΔV
又因為我們研究的是理想流體的定常流動,流體的密度ρ和各點的流速V沒有改變,所以研究對象(初態(tài)是a1到a2之間的流體,末態(tài)是b1到b2之間的流體)的動能和重力勢能都沒有改變.這樣,機械能的改變就等于流出的那部分流體的機械能減去流入的那部分流體的機械能,即
E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV
又理想流體沒有粘滯性,流體在流動中機械能不會轉(zhuǎn)化為內(nèi)能
∴W=E2-E1
(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV
整理后得:整理后得:
又a1和a2是在流體中任取的,所以上式可表述為
上述兩式就是伯努利方程.
當(dāng)流體水平流動時,或者高度的影響不顯著時,伯努利方程可表達為
該式的含義是:在流體的流動中,壓強跟流速有關(guān),流速V大的地方壓強p小,流速V小的地方壓強p大.