方法1：ab+a+b+1>=4*(a*b*a*b*1)^1/4 等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時成立 ab+ac+bc+c*c>=4*(ab*ac*bc*c*c)^1/4 等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時成立 (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)>=16abc 等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時成立 由于a b c是不全相等的正數(shù),所以(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)大于16abc 方法2：原式=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) a+1>=2根號a 當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號 b+1>=2根號b 當(dāng)且僅當(dāng)b=1時取等號 a+c>=2根號ac 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號 b+c>=2根號bc 當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號 又因為a和b不同時等于1 abc都不相等 所以上面4項至多有一項取等號 且取等號的項>1 所以原式>2根號a*2根號b2根號ac*2根號bc=16abc 2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 因為a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2) 又 a^2+b^2≥2ab 所以a^3+b^3≥ab(a+b) a^3+c^3≥ac(a+c) b^3+c^3≥bc(b+c) 所以2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)成立 方法二：a^3+a^3+b^3>=3a^2b a^3+a^3+c^3>=3a^2c b^3+b^3+a^3>=3b^2a b^3+b^3+c^3>=3b^2c c^3+c^3+a^3>=3c^2a c^3+c^3+b^3>=3c^2b 各式相加得到 6(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) 所以2(a^3+b^3+c^3)>=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b =a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) 方法三：2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)] =a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b) =(a^2-b^2)(a-b)+(c^2-a^2)(c-a)+(b^2-c^2)(b-c) =(a+b)(a-b)^2+(c+a)(c-a)^2+(b+c)(b-c)^2≥0 =>：2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)