n階方陣A滿足(A+I)^m=0,則|A|=

數(shù)學人氣：411 ℃時間：2020-04-04 17:15:35

優(yōu)質(zhì)解答

首先證明冪零矩陣B=A+E的所有特征值均等于0.
這是因為B的任意特征值c有相應的特征向量,即非零向量v滿足Bv=c*v.
B^m=0,所以0=(B^m)v=(c^m)*v,v非零故只有c^m=0,所以c=0.
B=A+E的特征值都為0,即B的特征多項式為λ^n.
所以A的特征多項式|λE−A|=|(λ+1)E−B|=(λ+1)^n,于是A的特征值都為-1.
而|A|等于A的全體特征值的乘積,故|A|=(-1)^n.