題目不對(duì)吧 如A= ( 1 0 ) B=( 3 1 ) 則 AB=( 3 1 ) 都不對(duì)
( 0 2 ) ( 1 4 ) ( 2 8 )
稱更別說正定了( 上面是3個(gè)2階方陣 打不好 上下對(duì)不齊)
我覺得原題是說 AB特征植大于0
證明 A B正定 存在 P Q 可逆 A=P*TP B=Q*TQ ( 這里用T表轉(zhuǎn)置)
則 DET( xI-AB)=DET(xI-P*TP*Q*TQ)=DET(xI-TP*Q*TQ*P)
這里用到 DET(xI-XY)=DET(xI-YX)這個(gè)等式 應(yīng)該學(xué)過吧
則 因?yàn)門P*Q*TQ*P顯然正定 所以DET(xI-TP*Q*TQ*P)=0根全為正數(shù)
所以 DET( xI-AB)=0根全為正數(shù) 所以AB特征值大于0
剛才沒想好 想繁了 其實(shí) AB相似于(不一定正交相似)對(duì)角陣
且 對(duì)角元正 這是因?yàn)?A=P*TP 所以 AB 相似于 P逆*A*B*P=
TP*B*P=TP*Q*TQ*P 正交 所以 相似于對(duì)角陣且 對(duì)角元正