n=2或13.
過程大致如下：
設(shè)n²+5n+22=k²,k是正整數(shù).
則要使關(guān)于n的一元二次方程n²+5n+22-k²=0有正整數(shù)解,其判別式一定是完全平方數(shù),即：
4k²-63=m²
(2k-m)(2k+m)=63=1*63=3*21=7*9
根據(jù)2k-m=1,2k+m=63及2k-m=3,2k+m=21還有2k-m=7,2k+m=9三種可能的關(guān)系可求出
k,m的值,相應(yīng)的正整數(shù)n值有兩個：
n=2,13.