發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)就導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī),而危機(jī)的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的體系化.
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由無(wú)窮小量的矛盾引起的,它反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無(wú)窮的矛盾.數(shù)學(xué)中也一直貫穿著計(jì)算方法、分析方法在應(yīng)用與概念上清楚及邏輯上嚴(yán)格的矛盾.在這方面,比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用.而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家則提出批評(píng).只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致后,矛盾才能解決.后來(lái)算符演算及δ函數(shù)也重復(fù)了這個(gè)過(guò)程,開(kāi)始是形式演算、任意應(yīng)用,直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng).
對(duì)于第三次數(shù)學(xué)危機(jī),有人認(rèn)為只是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī),與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān).這種看法是片面的.誠(chéng)然,問(wèn)題涉及數(shù)理邏輯和集合論,但它一開(kāi)始就牽涉到無(wú)窮集合,而現(xiàn)代數(shù)學(xué)如果脫離無(wú)窮集合就可以說(shuō)寸步難行.因?yàn)槿绻豢紤]有限集合或至多是可數(shù)的集合,那絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在.而且即便這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容,也有許多問(wèn)題要涉及無(wú)窮的方法,比如解決數(shù)論中的許多問(wèn)題都要用解析方法.由此看來(lái),第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是一次深刻的數(shù)學(xué)危機(jī).