毛病出在你沒有用等價無窮小量去代換,所以積分（也就是取極限）后結(jié)論不對.
可以先拿曲線的弧長做例子,在計算曲線長度時要用內(nèi)接折線段來逼近,也就是說在小區(qū)間[x,x+dx]上要用折線段(x,f(x))--(x+dx,f(x+dx))來代替曲線段,而不能直接用dx,因?yàn)檫@不是局部的曲線段長度的等價無窮小量.
當(dāng)然曲面的情況要比曲線復(fù)雜,曲面面積甚至不能用內(nèi)接多面體的面積來逼近,不過至少來說拿圓柱去逼近圓錐側(cè)面就像直接用直角三角形的直角邊去逼近斜邊一樣,不是等價無窮小代換.對于圓的表面積而言,可以對切片用圓臺的側(cè)面積去近似,對于旋轉(zhuǎn)體而言這樣是安全的.
對于一般的簡單曲面就不要亂來了,老老實(shí)實(shí)按定義去做,除非你掌握了我所說的要點(diǎn),做的代換都是等價量的代換.